Аппроксимационные алгоритмы для Метрики ТСП

Известно, что показатель TSP может быть аппроксимирован в пределах и не может быть аппроксимирован лучше, чем за полиномиальное время. Известно ли что-нибудь о поиске аппроксимационных решений за экспоненциальное время (например, менее шагов только с полиномиальным пространством)? Например, в какое время и в каком пространстве мы можем найти тур, расстояние которого не более ?$1.5$ 2n1,1×OP$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Я изучил проблему и нашел самые известные алгоритмы для TSP.

$n$ - количество вершин, - максимальный вес ребра. Все оценки даны с полиномиальным множителем входного размера ( ). Мы обозначим Асимметричный TSP через ATSP.$M$$poly(n, \log M)$

1. Точные алгоритмы для TSP

1.1. Генеральный ATSP

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$ время и пространство ( Björklund ).$exp$

$2^n$ времени и пространства ( Беллман ; Хельд, Карп ).$2^n$

$4^n n^{\log n}$ время и пространство ( Гуревич, Шелах ; Бьёрклунд, Хусфельдт ).$poly$

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ времени и пространства для ( Койвисто, Парвиайнен ).$2^t$$t=n,n/2,n/4,\ldots$

$O^*(T^n)$ время и пространство для любого с ( Койвисто, Парвиайнен ).$O^*(S^n)$$\sqrt2<S<2$$TS<4$

$2^n\times M$ времени и поли-пространства ( Локштанов, Недерлоф ).

$2^n\times M$ времени и пространства ( Кон, Готтлиб, Кон ; Карп ; Бакс, Франклин ).$M$

Даже для Metric TSP нет ничего лучше, чем описанные выше алгоритмы. Это сложная задача для разработки алгоритма времени для TSP с полиномиальным пространством (см. Открытую задачу 2.2.b, Woeginger )$2^n$

1.2. Особые случаи TSP

$1.657^n\times M$ время и экспоненциально малая вероятность ошибки ( Björklund ) для неориентированного TSP.

$(2-\epsilon)^n$ и экспоненциальное пространство для TSP в графах с ограниченной средней степенью, зависит только от степени графа ( Cygan, Pilipczuk ; Björklund, Kaski, Koutis ).$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$ и пространство для TSP в графах с ограниченной максимальной степенью и ограниченными целочисленными весами, зависит только от степени графа ( Björklund, Husfeldt, Kaski, Koivisto ).$poly$$\epsilon$

$1.251^n$ и пространство для TSP в кубических графах ( Ивама, Накашима ).$poly$

$1.890^n$ и пространство для TSP в графах степени ( Эппштайн ).$poly$$4$

$1.733^n$ и показательное пространство для TSP в графах степени ( Гебауэр ).$4$

$1.657^n$ времени и пространства для неориентированного гамильтомианского цикла ( Björklund ).$poly$

$(2-\epsilon)^n$ и экспоненциальное пространство для TSP в графах с не более гамильтоновых циклов (для любой константы ) ( Björklund, Kaski, Koutis ).$d^n$$d$

2. Аппроксимационные алгоритмы для TSP

2.1. Генеральный ТСП

Не может быть аппроксимирована в любой вычисляемой функции за полиномиальное время, если P = NP ( Сахни, Гонсалес ).

2.2. Метрическая ТСП

$3 \over 2$

$123\over 122$

2,3. Графический TSP

$7\over5$ ( Себо, Выген ).

2,4. (1,2) -TSP

MAX-SNP hard ( Пападимитриу, Яннакакис ).

$8 \over 7$ -приближением ( Берман, Карпинский ).

2.5. TSP в метриках с ограниченным измерением

PTAS для TSP в евклидовом пространстве фиксированной размерности ( Arora ; Митчелл ).

TSP APX-труден в -мерном евклидовом пространстве ( Тревизан ).$\log{n}$

PTAS для TSP в метриках с ограниченной удвоенной размерностью ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6. ATSP с неравенством направленного треугольника

$O(1)$ -приближение ( Свенссон, Тарнавский, Вег )

Не может быть аппроксимировано с соотношением лучше, чем если P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied ).$75\over 74$

2,7. TSP в графах с запрещенными несовершеннолетними

Линейное время PTAS ( Klein ) для TSP в планарных графиках.

PTAS для неосновных графиков ( Демейн, Хаджиагайи, Каварабаяси ).

$22\frac{1}{2}$ -аппроксимация для ATSP в плоских графах ( Гаран, Сабери ).

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$ -аппроксимация для ATSP в genus- графов ( Erickson, Сидиропулос ).$g$

2,8. MAX-TSP

$7\over9$ для MAX-TSP ( Палуч, Муха, Мадри ).

$7\over8$ - для MAX-Metric-TSP ( Kowalik, Mucha ).

$3\over4$ для MAX-ATSP ( Paluch ).

$35\over44$ для MAX-Metric-ATSP ( Kowalik, Mucha ).

2.9. Экспоненциально-временные аппроксимации

Можно вычислить -приближение для MIN-Metric-TSP за время с показательным пространством для любого или во времени с полиномиальным пространством для любого ( Боря, Буржуа, Эскофье, Пачос ).$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

Буду благодарен за любые дополнения и предложения.

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Николас Боря, Николя Бужуа, Бруно Эскофье, Вангелис Тх. Пачос: Схемы экспоненциальной аппроксимации для некоторых задач графа. Доступно онлайн .

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(по крайней мере, в диапазоне постоянных факторов) можно увидеть улучшения в отношении аппроксимации даже при заданном субэкспоненциальном времени. Существует несколько проблем, при которых наилучший известный результат твердости достигается за счет неэффективного снижения SAT, то есть результат твердости находится в более слабом предположении, например, NP не содержится в квазиполиномиальном времени. В таких случаях можно получить лучшее приближение за субэкспоненциальное время. Единственная, о которой я знаю, это проблема группового дерева Штейнера. Недавний известный результат - результат работы Arora-Barak-Steurer по алгоритму с субэкспоненциальным временем для уникальных игр: из этого результата мы делаем вывод, что если UGC верен, то сокращение от SAT до UGC должно быть неэффективный, то есть размер экземпляра UGC, полученного из формулы SAT, должен определенным образом увеличиваться с параметрами.

Лучший tsp для взвешенных графов с ограниченным родом - http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ .