SERF-сводимость и субэкспоненциальные алгоритмы

У меня есть вопрос, касающийся СЕРФ-сводимости Impagliazzo, Paturi и Zane и субэкспоненциальных алгоритмов. Определение SERF-сводимости дает следующее:

Если $P_1$ является SERF-сводимым к $P_2$ и существует алгоритм $O(2^{\varepsilon n})$ для $P_2$ для каждого $\varepsilon > 0$ , то существует алгоритм $O(2^{\varepsilon n})$ для $P_1$ для каждого $\varepsilon > 0$ . (Параметр твердости для обеих задач обозначен буквой $n$ .)

Некоторые источники, по-видимому, подразумевают следующее:

Если $P_1$ является SERF-сводимым к $P_2$ и существует алгоритм $O(2^{o(n)})$ для $A_2$ , то существует алгоритм $O(2^{o(n)})$ для $P_1$ .

Мой вопрос: действительно ли это последнее утверждение действительно, и если да, то есть ли где-нибудь описание доказательства?

В качестве фона я пытался понять область вокруг гипотезы экспоненциального времени. IPZ определяют субэкспоненциальные задачи как те, которые имеют алгоритм для каждого ε > 0 , но этого, очевидно, недостаточно в свете современных знаний, чтобы подразумевать существование субэкспоненциального алгоритма для задачи. Похоже, такой же разрыв присутствует в сводимости SERF, но я частично ожидаю, что здесь что-то упущено ...$O(2^{\varepsilon n})$$\varepsilon > 0$

EDIT: Как отметило Райана в комментариях, проблема может иметь неоднородный алгоритм с работой времени для любой константы ε > 0 (алгоритм имеет доступ к е ) , но не равномерные 2 O ( п ) время алгоритм.$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon > 0$$\epsilon$$2^{o(n)}$

Поскольку сокращение SERF является семейством сокращений Тьюринга, по одному для каждого , я заключаю, что они могут использоваться только для получения O ( 2 ϵ n ) временных алгоритмов из O ( 2 ϵ n ) или 2 o ( n ) времени алгоритмы.$\epsilon>0$$O(2^{\epsilon n})$$O(2^{\epsilon n})$$2^{o(n)}$

Следующая теорема доказана Chen et al. [2009] .

Теорема 2.4 . Пусть - неубывающая и неограниченная функция, а Q - параметризованная задача. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (1) Q может быть решена за время O ( 2 δ е ( к ) р ( п ) ) для любой константы δ > 0 , где р есть многочлен; (2) Q можно решить за время 2 o ( f ( k ) )$f(k)$$Q$
$Q$$O(2^{\delta f(k)}p(n))$$\delta > 0$$p$
$Q$ , где q - многочлен.$2^{o(f(k))} q(n)$$q$

Принимая мы получаем, что задача имеет O ( 2 ϵ n ) алгоритм времени для каждого ϵ > 0 тогда и только тогда, когда она имеет 2 o ( n ) алгоритм времени.$f(k)=n$$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon>0$$2^{o(n)}$

Это упоминается в статье Chen et al. что эта эквивалентность ранее использовалась интуитивно, но она вызывала некоторую путаницу среди исследователей.