Определение показателя умножения матриц

15

В разговорной речи определение показателя умножения матриц является наименьшим значением, для которого существует известный алгоритм умножения матриц . Это неприемлемо как формальное математическое определение, поэтому я предполагаю, что техническое определение является чем-то вроде инфимума по всем , так что в существует алгоритм умножения матриц . $\omega$ $n^{\omega}$ $t$ $n^t$

В этом случае нельзя сказать, что существует алгоритм умножения матриц в или даже в , просто для всех существует алгоритм в . Однако, часто статьи и результаты, которые используют умножение матриц, сообщают о своей стоимости просто как . $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $\epsilon > 0$ $n^{\omega + \epsilon}$ $O(n^{\omega})$

Есть ли какое-то альтернативное определение которое разрешает такое использование? Существуют ли какие-либо результаты, гарантирующие, что алгоритм времени или должен существовать? Или использование просто небрежно? $\omega$ $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $O(n^{\omega})$

ds.algorithms linear-algebra

— Дэвид Харрис
источник

2

Если вы просто хотите использовать умножение матриц в качестве черного ящика, проще всего сказать: «Пусть

ω

$\omega$ таково, что мы можем умножить

n \times n

$n \times n$ -матрицы с

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$ арифметическими операциями». Конечно, тогда

ω

$\omega$ не является показателем умножения матриц, но может быть сколь угодно близко. Если вы хотите указать показатель вашего окончательного бега в десятичном представлении, в настоящее время вы все равно должны округлить, поскольку все нетривиальные оценки для

ω

$\omega$ о которых я знаю, являются либо иррациональными числами, либо бесконечными последовательностями.

— Маркус Блезер

2

ω

$\omega$ обычно определяется как инфимум по всем вещественным значениям

k

$k$ для

n

$n$ идущего к

\infty

$\infty$ , так что существуеталгоритм времени

O (n^{k})

$O(n^k)$ , который умножает двематрицы

n \times n

$n\times n$ (где время - это число сложений, умножений и делений в основное поле). Это также означает, что технически мы всегда должны писать

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega+o(1)}$ но это становится беспорядочным, поэтому, когда вы видите

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$ вы должны думать, что

где

- время выполнения алгоритма матричного умножения.

O (M (n))

$O(M(n))$

M (n)

$M(n)$

— virgi

20

Показатель умножения матриц, являющийся , не гарантирует, что существует алгоритм, который выполняется за время , но только то, что для каждого , существует алгоритм, который выполняется за . Действительно , если вы можете найти алгоритм , который работает в время , то это показывает , что . $\omega$ $O(n^\omega)$ $\epsilon > 0$ $O(n^{\omega+\epsilon})$ $O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$ $\omega = 2$

Вы можете найти формальное определение в книге «Теория алгебраической сложности» Питера Бюргиссера, Михаэля Клаузена, Амина Шокроллахи.

— MCH
источник

7

Небольшой комментарий, который слишком длинный, чтобы быть комментарием:

Иногда, когда у вас есть проблема, для которой существует алгоритм со временем выполнения для каждого , существует алгоритм со временем выполнения . $O(n^{k+\epsilon})$ $\epsilon>0$ $n^{k+o(1)}$

Например, иногда вы получаете алгоритмы, которые идут как для некоторой быстро растущей функции (например, ). Если вы установите в (скажем) , то будет o (1). В примере с равным , вы можете выбрать $f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$ $f$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $f(1/\epsilon)$ $\log n$ $\epsilon$ $f(1/\epsilon)$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $1/\epsilon$ быть , что дает , что равно o (1). Таким образом, окончательное время работы этого алгоритма будет , поскольку также равно . $\log \log \log n$ $\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$ $n^{k+o(1)}$ $\log n$ $n^{o(1)}$

— Робин Котари
источник

Я полагаю, что алгоритм Coppersmith-Winograd попадает в эту категорию?

— Дэвид Харрис

2

@DavidHarris: не знаю об этом. Может быть, кто-то, кто понимает алгоритм, сможет пролить свет на это. Я просто хотел сказать, что часто

не так плохо, как кажется.

O (n^{k + ϵ})

$O(n^{k+\epsilon})$

— Робин Котари

5

Хорошо известен результат Копперсмита и Винограда о том, что -время не может быть реализовано ни одним единственным алгоритмом. Но я читал, что они ограничены алгоритмами, основанными на билинейных тождествах, подобных Штрассену, так что я не знаю точно, так как статья находится за платным доступом. $O(n^{\omega})$

— Диего де Эстрада
источник

3

Я не согласен с вашим утверждением в вопросе о том, что недостаточно четко определено «наименьшим значением, для которого существует известный алгоритм умножения матриц ». Когда люди используют эту константу, это потому, что их алгоритм основан на умножении матриц, а под сложностью они подразумевают «оптимальная сложность нашего алгоритма определяется оптимальным алгоритмом умножения матриц». $\omega$ $n^ω$ $n^\omega$

Я не говорю, что иначе невозможно определить (например, говоря, что - это наилучшая достижимая сложность). $\omega$ $\omega$

Кстати, самая известная верхняя граница для умножения матриц только что была улучшена до если я не ошибаюсь. $2.3737$

— Bruno
источник

3

Я не понимаю, как человеческие знания могут быть частью математического определения

— Дэвид Харрис

2

Недавний опыт показывает, что количественно определить все алгоритмы намного проще, чем все алгоритмы, известные человечеству в настоящее время ;-)

— Маркус Блезер