Существует ли тип щелевого усиления для задачи об изоморфизме графа?

Предположим, что и являются двумя неориентированными графами на множестве вершин . Графы изоморфны тогда и только тогда, когда существует перестановка такая, что , или более формально, если существует перестановка такая, что является ребром в тогда и только тогда если $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ это ребро в . Проблема изоморфизма графов - это проблема определения изоморфности двух данных графов. $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

Есть ли операция над графами, которая производит «усиление зазора» в стиле доказательства Динура теоремы PCP ? Другими словами, существует ли вычисляемое преобразование за полиномиальное время из в такое, что $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

если и изоморфны, то и также изоморфны, и $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
если и G - не изоморфны, то для каждой перестановки П , граф G ' 1 является « ε -far» от П ( G ' 2 ) для некоторых малых постоянная е , где & epsi ; -far означает , что , если мы выбираем ( i , j ) равномерно случайным образом, то с вероятностью ϵ либо
- является ребром и не является ребром , или $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- не является ребром в а является ребром в . $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— Андре Шайо
источник

@domotorp: «Преобразование за полиномиальное время» - это стандартная терминология, относящаяся к детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, вход и выход которой являются строками. В этом случае эта машина Тьюринга принимает пару (G1, G2) в качестве входных данных и генерирует пару (G′1, G′2) в качестве выходных данных. Каждый график кодируется, например, как смежная матрица.

— Цуёси Ито

Я думал, что теорема PCP справедлива для любой задачи NP, поэтому в особенности она должна выполняться для изоморфизма графов?

— Денис

@dkuper Автор хочет спросить, существует ли редукция, усиливающая разрыв, которая сводит случаи изоморфизма графов к случаям изоморфизма графов с большим разрывом; он не спрашивает непосредственно о теореме PCP, а только о методике, используемой для доказательства твердости аппроксимации ...

— argentpepper

Возможно, это длинный путь, но не могли бы вы показать, что если бы это было так, то вы могли бы решить изоморфизм графов за квантовое полиномиальное время?

— Нил Янг

Это согласуется с современным уровнем знаний о том, что даже SAT имеет линейный алгоритм времени, поэтому то, что вы написали, вряд ли будет известно. Если это так, пожалуйста, добавьте ссылку на ваш ответ.

— Каве

Я не знаю, могла ли такая вещь существовать или нет. Но интересно (и, возможно, своевременно) отметить, что такое «усиление щели», вероятно, подразумевает квазиполиномиальный алгоритм времени для изоморфизма графов (отличный от недавно анонсированного)

В этой статье дается алгоритм аппроксимации для задачи «MAX-PGI» максимизации согласованных пар ребер / не ребер; если мы уменьшаем GI до «Gap-MAX-PGI», то мы можем приблизиться, чтобы различить, на какой стороне разрыва мы находимся.

Итак, я думаю, что доказательство Динуром теоремы PCP вряд ли будет непосредственно обобщено на такой «усилитель с зазором», учитывая препятствия, которые должны быть преодолены.

— Джо Бебель
источник