Теорема об иерархии для отношений аппроксимации?

Как хорошо известно, задачи NP-hard оптимизации могут иметь много разных коэффициентов аппроксимации, начиная от PTAS и заканчивая отсутствием аппроксимации ни по одному фактору. Между ними у нас есть различные константы, , и т. Д. $O(\log n)$ $poly(n)$

Что известно о наборе возможных соотношений? Можем ли мы доказать какую-либо «иерархию приближений»? Формально, для каких функций и мы можем доказать, что существует проблема с коэффициентом аппроксимации ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

В случае, если , существует ли проблема с отношением аппроксимации точно ? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Джереми Хурвиц
источник

Доказательство такой теоремы скорее всего будет напоминать wisdom.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Учитывая проблему с известной аппроксимацией границей , мы каким-то образом облегчаем задачу, предположительно используя некоторую форму заполнения, чтобы получить проблему с аппроксимацией границей .

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Джереми Хурвиц

не являются константами.

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

— Тайсон Уильямс

@TysonWilliams: я думаю, он имел в виду, что между PTAS и отсутствием приближений есть константы, log, poly (n) и т. Д.

— Суреш Венкат

Разве вам не нужно исключать тривиальные преобразования, где

аппроксимация для минимизации f немедленно является

α

$\alpha$

аппроксимация для минимизации

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— Суреш Венкат

Что касается вашего последнего вопроса об α = O (1), тесная граница была показана для многих проблем, таких как упаковка бина, машинное планирование (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)

— Gopi

Ответы:

Существует иерархия аппроксимации, основные известные примеры: FPTAS EPTAS PTAS APX . Но для неприемлемости есть и NPO-PB . $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Существует множество результатов о наборе возможных соотношений, исходя из таких результатов:

EPTAS FPTAS, если , $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

для определения APX / NPO-PB-сложные проблемы.

Некоторые ссылки:

НА ПТАС: М. Сесати и Л. Тревизан. Об эффективности схем аппроксимации полиномиального времени, 1997.
На НПОПБ: В. Канн. Сильные нижние оценки аппроксимируемости некоторых задач максимизации полного замыкания НКО

Но я полагаю, что лучше всего проверить Зоопарк Сложности, потому что он содержит гораздо больше информации и ссылок на эти примеры, даже в Википедии.

Кроме того, как указано в комментариях, жесткая граница, когда , была показана для многих проблем, таких как упаковка бункеров, машинное планирование (см. Iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html). $\alpha=O(1)$

— Гопи
источник

Я все еще думаю, что комментария Суреша под вопросом достаточно, чтобы показать, что любое соотношение возможно. Если вы не уверены в этом, вы можете, например, взглянуть на Булевы проблемы удовлетворения ограничений (CSP).

Фон: Пусть - предикат арности . Экземпляр Max-CSP (P) находится над булевых переменных . Литерал - это любая переменная или ее отрицание. Экземпляр состоит из ограничений, каждая из которых имеет вид где $P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ некоторые литералы, и цель состоит в том, чтобы найти назначение переменных, которое максимизирует долю удовлетворяет ограничениям. Например, в имеем . Определим в качестве фракции возможных входных данных , которые удовлетворяют условию (для оно равно $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ ). Тривиально аппроксимировать любой Max-CSP (P) коэффициентом тривиально , назначая случайные значения переменным (а затем дерадимизировать, используя метод условных ожиданий). Обратите внимание, что здесь мы имеем соглашение о том, что отношения аппроксимации являются положительными действительными значениями не более 1. Предикат является устойчивым к аппроксимации (AR), если NP-сложнее решить Max-CSP (P) лучше, чем с помощью коэффициента (т. е. для любого фиксированного ). $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Пер Острин и Йохан Хостад, «Случайно поддерживаемые независимость и сопротивление», SIAM Journal on Computing, vol. 40, нет 1, с. 1-27, 2011.

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— MCH
источник