Регулярный граф с высоким обхватом с «локально однородным» общим порядком на узлах

Определения

Пусть $\epsilon > 0$ и пусть $d$ , $r$ и $g$ - натуральные числа (при $g > 2r+1$ ).

Пусть $G = (V,E)$ простой регулярный неориентированный конечный граф с обхватом не менее .$d$$g$

Пусть быть общий порядок на .$\le$$V$

Для каждого пусть состоит из узлов, находящихся на расстоянии от в (кратчайший путь от до любогоV v ⊆ V r v G $v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$ имеет не более r ребер), и пусть G v будет подграф G, индуцированный V v . Напомним, что мы предполагали, что G имеет высокий обхват; следовательно, G v - дерево. Пусть ≤ v - ограничение ≤ на V v .$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$$V_v$

Мы говорим , что ребро является хорошим , если ( G U , ≤ U ) и изоморфны. То есть существует биекция которая сохраняет смежности ( тогда и только тогда, когда ) и порядке ( если ). В противном случае преимущество плохо .$\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$f : V u → V v { x , y } ∈ E { f ( x ) , f ( y ) } ∈ E x ≤ y f ( x ) ≤ f ( y $(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

Будем говорить , что является -хорошо , если есть, по крайней мерехорошие края.ϵ ( 1 - ϵ ) | E $(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

Вопрос

Пусть . Существует ли -хорошая пара для любого и любых и (с )?ϵ ( G , ≤ ) ϵ > 0 r g r ≪ $d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

Примечания:

• Я хотел бы знать ответ для общего , но d = 4 является первым нетривиальным случаем.$d$$d = 4$

• Размер не имеет значения, если он конечен. Мне не нужна конструкция G ; простого существования или несуществования достаточно.$G$$G$

Примеры

• Если , ответ «да». Мы можем просто взять достаточно длинный цикл и упорядочить узлы вдоль цикла. У ребра есть несколько плохих ребер, которые соединяют самый большой и самый маленький узлы, но все остальные ребра хороши: почти для всех узлов v пара ( G v , ≤ v ) представляет собой просто путь с 2 r + 1 узлами в увеличивающийся заказ.$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• Если , ответ «да». Просто возьмите обычный график с высоким обхватом.$r = 0$

• Если достаточно мало, ответ «да» для любого четного d . Просто возьмите ( d / 2 ) -мерный сеточный граф (с границами, обернутыми вокруг, чтобы сделать его d- регулярным), и упорядочите узлы лексикографически по их координатам. Снова у нас есть несколько плохих ребер вблизи границ сетки, но мы можем сделать число плохих ребер сколь угодно малым.$g$$d$$(d/2)$$d$

• Если не должен быть конечным, ответ «да» для любого четного d . У правильного бесконечного дерева полный порядок такой, что все ребра хороши.$G$$d$

• Если нечетно и r достаточно велико, ответ «нет». В сущности, Naor & Stockmeyer (1995) показывают, что каждый узел является инцидентом по крайней мере с одним плохим фронтом.$d$$r$

Фон

(Этот раздел можно безопасно пропустить.)

Вопрос связан с основами распределенных вычислений, в частности с локальными алгоритмами .

Мы хотели бы понять следующее: в каких ситуациях существование полного порядка помогает нарушить локальную симметрию в распределенной системе. Интуитивно понятно, что каждый узел группы G должен создавать вывод, который является функцией ( G v , ≤ v ) , т. Е. Функцией локальной окрестности v . Если ребро e = { u , v } плохое, рядом с e имеется некоторая локальная информация, нарушающая симметрию , и узлы u и v могут давать разные выходные данные; если ребро хорошее, то узлы$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$ и v локально неразличимы, и они должны выдавать одинаковый результат.$u$$v$

Для многих классических задач о графах известно, что полный порядок не помогает (гораздо более слабые соотношения обеспечивают по существу тот же объем информации, нарушающей симметрию), но некоторые случаи все еще остаются открытыми - и общий результат, охватывающий случай всех обхват графиков может быть прорывом.

Это может быть беспроигрышный вопрос: независимо от ответа, мы узнаем что-то новое. Если ответ «да», мы могли бы получить новые, более сильные нижние результаты; если ответ «нет», мы могли бы разработать более быстрые алгоритмы, использующие локальную информацию, нарушающую симметрию, которая доступна в любом .$(G,\le)$

Конечно, в реальном мире у нас нет полного порядка на ; у нас есть что - то еще: каждый узел v ∈ V имеет уникальную метку л ( v ) ∈ N . Но преодоление разрыва между общим заказом и уникальными метками обычно проще; часто аргумент, подобный Рамсею, показывает, что (в худшем случае) метки не предоставляют никакой информации, которая недоступна в общем порядке.$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

Да , такие пары существуют для любого ϵ > 0 , любого r , любого g и любого четного d .$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

Подробнее см. ArXiv: 1201.6675 .