Вычисление расстояний с аппроксимацией менее 2 в общих графиках?

Учитывая взвешенный неориентированный граф с $m = o(n^2)$ ребрами, я хотел бы вычислить расстояния приближения меньше 2 между любой данной парой вершин. Конечно, я хотел бы использовать субквадратичное пространство и время сублинейного запроса.

Мне известен результат Цвика, который использует умножение матриц, но мне любопытно, известны ли какие-либо комбинаторные алгоритмы для этой проблемы?

ds.algorithms graph-algorithms

— Сиддхартха
источник

Привет @Siddhartha, я извиняюсь, если это глупый вопрос: результат Цвика, кажется, использует квадратичное пространство, это правильно?

— Сянь-Чжи Чанг 之之

Кроме того, допускается ли аддитивная ошибка?

— Сянь-Чи Чанг 之之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 - меня интересовали результаты только по мультипликативному приближению. Случай аддитивного приближения может быть интересен сам по себе - проще для плотных графов, я полагаю. Можно использовать гаечный ключ и получить аддитивное приближение для достаточно плотных графиков. Для разреженных графиков, насколько я знаю, гаечные ключи не помогли бы.

— Сиддхартха

Разве следующий аргумент не работает? Рассмотрим любой граф

вершинами и

ребрами. Рассмотрим все веса ребер равными

. любой дистанционный оракул, который может иметь строго лучшее приближение, чем

, может использоваться для определения для каждого возможного ребра, независимо от того, находится он на графике или нет. Но это, конечно , означает , что такое расстояние оракул должен использовать

бит. Нет? (Аргумент немного волнистый, но должен быть правильным.) (Формально количество битов равно , где . Это .

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— Сариэль Хар-Пелед

Спасибо Сариэль - может быть возможно получить нижнюю границу но я в порядке с этим. Все, что я хотел бы иметь, это субквадратичное пространство и сублинейное время запроса. Для графов с ребрами нижняя граница ничего не говорит о проблеме - верно?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Сиддхартха

Ответы:

Насколько я знаю, не существует опубликованных результатов по вычислению расстояний приближения менее 2 в субквадратичном пространстве и времени сублинейного запроса. Для быстрого получения приблизительных расстояний вы можете обратиться к результатам и ссылкам в «Более быстрых алгоритмах для приблизительных кратчайших путей для всех пар» Басваны и Кавиты (в журнальной версии их статьи FOCS есть хороший обзор соответствующей работы); ни один из них не достигает субквадратичного пространства.

Для компактного извлечения приблизительных расстояний вы можете посмотреть результаты и ссылки в двух вышеупомянутых статьях. [В дополнение к ответу Габора, предостережение: будьте осторожны с понятием разреженности в вышеприведенных работах - для приближения график называется разреженным, если , так как вы наверное, уже знаю]. $2$ $m = o(n^2)$

Как Сариэль указал в одном из комментариев выше, естественная нижняя граница пространства для вычисления расстояний приближения меньше является , то есть линейной по размеру графика. Если время запроса не ограничено, эта нижняя граница не может быть улучшена (тривиально, можно использовать алгоритм кратчайшего пути, просто сохраняя график). Для постоянного времени запроса я знаю две нижние границы. Во-первых, у Патраску и Роддити были некоторые условные нижние оценки в их статье FOCS 2010, которые применяются для аппроксимации менее . Во-вторых, Sommer et. и др. имел некоторые нижние оценки для очень разреженных графов. Я не знаю ни о каких других (нетривиальных) нижних границах. $2$ $\Omega(m)$ $2$

В терминах верхних оценок результаты вышеприведенных работ, по-видимому, не обобщаются до приближения менее . Недавно мы достигли некоторого прогресса в решении этой проблемы. Бумага должна появиться на ArXiv в ближайшее время, но, если хотите, пришлите мне электронное письмо, и я с удовольствием поделюсь этой статьей. $2$

Надеюсь это поможет.

~ Рачит Агарвал

— Rachit
источник

Вас может заинтересовать документ INFOCOM от Rachit Agarwal за 2011 год:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Приблизительные дистанционные запросы и компактная маршрутизация в разреженных графах, IEEE INFOCOM 2011

Из аннотации:

[Для] графа со средней степенью , частные случаи наших структур данных извлекают 2 протяженных пути с пробелом [...] за счет время запроса. $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

Обратите внимание, что их оракул расстояния только для разреженных графов, но логарифмическая оценка степени кажется правдоподобной. Дополнительный бонус, алгоритм также работает для взвешенных графиков.

— Габор Ретвари
источник

Вы также можете взглянуть на

Патрашку, Родитты, Оракулы на расстоянии за Торупом - Цвик Бонд, FOCS 2010

У них есть дистанционный оракул размером с натяжкой 2. Он поддерживает запросы в постоянное время. $O(n^{5/3})$

— zotachidil
источник

Благодаря! Бумага из Агравала и Михая, кажется, ничего не говорит о приближении «меньше, чем» 2, если я что-то пропустил.

— Сиддхартха

Это не так, но это может дать вам представление о том, как получить компромисс, чтобы улучшить натяжение.

— зотачидил