Какое наилучшее приближение для большинства голосов?

Операция с большинством голосов встречается довольно часто в отказоустойчивом (и, без сомнения, в других местах), где функция выводит бит, равный тому, какое значение всегда появляется в значении входных битов. Для простоты предположим, что всякий раз, когда вход содержит одинаковое количество битов в состоянии 0 и состоянии 1, он выводит 0.

Это может быть обобщено на точки, где имеется более 2 возможностей для каждого входа, возвращая значение, которое чаще всего встречается на входе, а в случае привязки - наиболее частое значение, которое появляется первым лексикографически. Давайте назовем эту функцию «множественным голосованием».

Я заинтересован в выводе такой функции, когда каждый вход имеет фиксированное распределение вероятностей (и распределение одинаково для каждого входа на входе). Конкретно меня волнует следующий вопрос.

Принимая во внимание множество , если множество независимо случайная выборка раза, с вероятностью выбор элемента каждый раз при фиксированном выборе какова вероятность того, что множество голоса из этих выходов ? $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ $N$ $p_i$ $i^{th}$ $S$ $v$ $S_v$

Теперь прямо вычислить точный ответ на поставленный выше вопрос как сумму по полиномиальным распределениям. Тем не менее, для моих целей, это не идеально, и закрытое для приближения было бы лучше. Итак, мой вопрос:

Какое приближение замкнутой формы к указанной вероятности имеет самую тесную границу на максимальном расстоянии от точного значения?

co.combinatorics

— Джо Фитцсимонс
источник

Я не знаю, но я бы предложил поисковую фразу «консенсус теории управления» или «проблема консенсуса теории управления». Это проблема, отличная от консенсусной задачи распределенных вычислений, и может быть то, что вам нужно.

— Аарон Стерлинг

Вы ищете приближение, которое хорошо работает, когда N больше по сравнению с n? Если это так, правило разрыва связи не должно иметь значения.

— Цуеши Ито

@TsuyoshiIto: Да, и действительно, это правило не имеет значения, но я хотел убедиться, что вопрос поставлен правильно. Меня не волнует, как нарушаются связи, так как эту несдержанность легко связать.

— Джо Фитцзимонс

Ну, вот обратная сторона оценки огибающей ... Пусть

будет количеством раз, когда вы выбираете множество

. Это биноминальная переменная. Притворись, что они независимы. Теперь, для фиксированного значения

, вы можете вычислить вероятность получения этого значения

, и для этого значения вычислите вероятность того, что оно выиграет над всеми другими переменными. Это должно дать довольно хорошие границы вероятности. Они, конечно, не самые строгие - чем больше зависимости вы готовы принять во внимание, тем более точной будет ваша оценка, но чем больше вычислений вам придется делать.

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— Сариэль Хар-Пелед

Если для всех , то $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [outcome is different from v] \leq min_{T} (P r [B (N, p_{v}) \leq T] + P r [\forall i \neq v B (N, p_{i}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

где - биномиальное распределение, а - произвольный порог. Подставляя и используя границы Чернова, можно оценить верхнюю вероятность как . $B(n, p)$ $T$ $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

Конечно, если $p_v$ не является максимальным, то вы получите противоположную картину. С подавляющей вероятностью не является результатом. $v$

— ilyaraz
источник

Спасибо, что подумали о проблеме, но это не то, что я ищу. Это не закрытая форма. Мне нужно было бы суммировать по неограниченному числу экспонент. Я уже знаю, как написать точное решение, и я знаю много приближений для отдельных терминов, но это не то, что я хочу. Я ищу приближенную форму решения, а не отдельные термины. Мне также нужна достойная оценка ошибки.

— Джо Фитцзимонс

Вы можете получить закрытую форму, используя тот же метод (если вас устраивает дополнительный фактор

). И чтобы ограничить ошибку, вы можете использовать теорему Берри-Эзина вместо границы Черноффа.

n

$n$

— Ильяраз

@ilyaraz Я пытаюсь понять твое первое нарушение. Можете ли вы объяснить мне лучше, почему это так? Я думаю, что вы каким-то образом использовали объединение, но я не могу понять. Спасибо :)

— AntonioFa