Приближенная раскраска графа с обещанной верхней границей на максимальном независимом множестве

В моей работе возникает следующая проблема:

Существует ли известный алгоритм, который аппроксимирует хроматическое число графа без независимого набора порядка 65? (Таким образом, альфа (G) <= 64 известна, а | V | / 64 - тривиальная нижняя, | V | тривиальная верхняя граница. Но существуют ли более проверенные аппроксимации при этом особом условии?)

Что если мы расслабимся до дробного хроматического числа? А на «хорошие» времена бега в средних случаях?

— cyrix42
источник

Я думаю, что это отличный вопрос для этого сайта; будем надеяться, что у кого-то есть хороший ответ.

— Юкка Суомела

@TysonWilliams: я думаю, что вопрос совершенно ясен. Забудьте комментарий, перечитайте вопрос. :)

— Юкка Суомела

Самое смешное, что эти условия гарантируют, что тривиальное приближение является 64-приближением к оптимальному. Интересно, может ли просто обещание небольшого числа независимости дать лучший алгоритм.

— Сашо Николов

Мотивируется ли проблема практическим применением? Если это так, следует сосредоточиться на интересных эвристиках, которые будут успешны - улучшение тривиального приближения 64 не так интересно.

— Чандра Чекури

O (n^{64})

$O(n^{64})$

Ответы:

Вычислить максимальное совпадение в дополнении входного графа. Каждый непревзойденный узел должен быть другого цветового класса в любой раскраске. Итак: если вы получите хотя бы cn совпадающих ребер, то само сопоставление даст вам раскраску с верхней границей (1-c) n и коэффициентом аппроксимации 64 (1-c). Если вы не получите хотя бы cn ребер, тогда вы получите нижнюю границу (1 - 2c) n цветов и коэффициент приближения 1 / (1-2c). Решение уравнения 64 (1-c) = 1 / (1-2c) приводит к тому, что коэффициент аппроксимации немного больше 32; см. комментарий Сашо Николова для точного значения.

— Дэвид Эппштейн
источник

c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

$H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

— Эндрю Д. Кинг
источник

Незначительная коррекция: неверно, что число окраски равно наименьшему числу цветов в жадной окраске. Если вы упорядочите вершины в соответствии с их цветами в оптимальной раскраске (с дополнительным свойством, что первый цветовой класс максимален, а второй максимален в оставшемся графе и т. Д.), Тогда жадный алгоритм найдет такую же оптимальную раскраску.

— Дэвид Эппштейн