Вычисление константы Чигера: выполнимо для каких классов?

19

Как известно, вычисление постоянной Чигера для графика , также известного как изопериметрическая постоянная (поскольку это, по сути, минимальное отношение площади / объема), является NP-полным. Вообще это приблизительно. Мне интересно узнать, известны ли точные полиномиальные алгоритмы для специальных классов графов. Например, все еще NP-полный для регулярных графов ? Для дистанционно регулярных графиков ? (Я не изучал существующие доказательства NP-полноты, чтобы проверить их предположения.) Литературные указатели оценили - спасибо!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms

— Джозеф О'Рурк
источник

3

это хороший вопрос. Имеют ли приближения какое-либо отношение к методам разреженного разреза?

— Суреш Венкат

1

Я знаю, что это старый вопрос, но мне было интересно, знает ли кто-нибудь о приближении полиномиального времени для общих графиков, которые получают константу в пределах некоторого фиксированного процента?

— иберман

11

Обратите внимание, что аппроксимация разреженного разреза с точностью до дает приближение для постоянной Чигера, как определено. Вот некоторые статьи, которые дают алгоритмы с постоянной аппроксимацией для разреженного разреза в ограниченных графах: $\alpha$ $2\alpha$

Ограниченный род: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1873619
Ограниченная ширина дерева: http://arxiv.org/abs/1006.3970

Кроме того, http://arxiv.org/abs/1006.3970v2 доказывает, что разреженный разрез является NP-сложным для графов с шириной пути 2 и имеет еще несколько ссылок на аппроксимацию разреженного разреза в ограниченных случаях.

Я предположил бы, что для всех классов графов, упомянутых в статье, точные алгоритмы не известны (поскольку они интересуются приближениями). В частности, если разреженный разрез является NP-сложным для графиков с шириной пути 2, то он также является NP-сложным для графиков с шириной дерева 2 и шириной вырезания 2. Я полагаю, что это не дает достаточно много места ... может быть, есть еще лучший вариант параметризация для разреженного разреза.

Я почти уверен, что на регулярных графиках разреженный срез является NP-сложным, но не могу найти ссылку.

Пер заметил, что я не был осторожен, когда посмотрел на бумаги выше. Результат твердости для неоднородного разреженного разреза. Вычислить равномерный разреженный срез или постоянную Чигера на деревьях легко (WLOG - оптимальный срез разделяет поддерево). Немного больше работы, которая дает алгоритм динамического программирования для вычисления константы Чигера на ограниченных графах длины дерева.

Таблица 1 в статье 2 выше также упоминает результат, который дает постоянную аппроксимацию для графов с исключенным несовершеннолетним.

$O(\sqrt{\log g})$ $g$

— Сашо Николов
источник

Разве вы не можете просто сделать какой-либо график регулярным, добавив свои циклы?

— MCH

2

@ MCH таким образом, вершины нечетных степеней остаются нечетными, а вершины четных степеней остаются четными

— Сашо Николов

1

Результат твердости, который вы упоминаете для ширины пути 2, предназначен для неравномерного разреженного разреза, что не имеет значения для константы Чигера. В самом деле, насколько я могу видеть, вычисление либо равномерного разреженного среза, либо постоянной Чигера точно в графах ограниченной длины дерева легко.

— За Австрина

5

Точное решение на плоских графиках см. В Park and Phillips, STOC 93 . Это по существу для разреженных требований с равномерным распределением, с незначительным отличием в том, что их знаменатель равен | S | вместо | S | * | VS |. Как указывает Пер, случай неоднородных требований отличается.

— Роберт Краутгамер
источник