Неконструируемые функции и аномальные результаты

В книге Арора-Барак, в определении функций, способных к построению по времени, говорится, что использование функций, которые не могут быть построены по времени, может привести к «аномальным результатам». У кого-нибудь есть пример такого "аномального результата"? В частности, я слышал, что могут существовать такие функции, что теорема о временной иерархии не выполняется. У кого-нибудь есть пример таких функций? Есть ли что-то об этом где-то в литературе?

Теорема Бородина о разрыве : для любой общей вычислимой функции$g(n) \geq n$есть общая вычислимая функция $t$ такой, что $DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$,

Фактически, это справедливо для любой меры сложности Блюма вместо $DTIME$,

Смотрите также страницу википедии и ссылки там.

Поскольку статья в Википедии не дает доказательства, а статья посвящена ACM DL, я подумал, что было бы полезно опубликовать доказательство здесь:

ТЕОРЕМА 3.7. Теорема о разрыве.

Позволять $\Phi$ быть мерой сложности, $g$ неубывающая рекурсивная функция такая, что $\forall x, g(x) \geq x$, Тогда существует возрастающая рекурсивная функция$t$ такие, что функции вычислимы по мере сложности $t$ такие же, как функции, вычислимые по мере сложности $g\circ t$,

Доказательство.

определять $t$ следующее:

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. для всех $n$, Eсть $k$, ибо для всех $i \leq n$:

   а. если$\Phi_i(n)$ тогда не определено $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$, а также

   б. если $\Phi_i(n)$ определяется тогда $\exists k, \Phi_i(n) < k$,

2. $k$ можно найти рекурсивно, так как $\Phi$ является мерой сложности и, следовательно, $\Phi_i(n) <k$ а также $\Phi_i(n) > g(k)$ являются рекурсивными предикатами.

3. $t$ удовлетворяет теореме, так как $n \geq i$ подразумевает, что либо $\Phi_i(n) < t(n)$ или $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$,

QED.

Мы видим, что сколь угодно большой $t$можно найти для удовлетворения теоремы 3.7. Предположим, мы хотим$t(n) > r(n)$затем определите

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(от Аллана Бородина, « Вычислительная сложность и существование пробелов в сложности », JACM 1972, с небольшими изменениями.)