Количество триангуляций множества

Этим летом я услышал, как Эмо Велцл говорит на эту тему. Я знаю, что число триангуляций набора из точек на плоскости находится где-то между и . Извиняюсь, если я устарел; Обновления приветствуются. $n$ $\Omega(8.48^n)$ $O(30^n)$

Я упомянул об этом в классе и хотел прокомментировать краткие, мудрые замечания, чтобы дать учащимся понять, (а) почему оказалось так трудно зафиксировать это количество, и (б) почему так много стараются его зафиксировать. Я обнаружил, что у меня не было адекватных ответов, чтобы осветить любую проблему; так много для моей мудрости!

Буду признателен за ваши ответы на эти заведомо расплывчатые вопросы. Благодарность!

co.combinatorics cg.comp-geom

— Джозеф О'Рурк
источник

Согласно странице полигонизации Эрика Демейна , оценка, указанная в докладе, была

, но я не помню, заявил ли Эмо Вельцль, что можно показать лучшую оценку, используя более тщательный анализ. По какой-то причине у меня в голове

O (56^{n})

$O(56^n)$

O (35^{n})

$O(35^n)$

— Тимоти Сан

На той же странице написано «Текущий лучший предел - 30». Число 56 для полигонизации.

— Чао Сюй

Возможно, стоит дать свои ответы на мои вопросы. Триангуляции образованы непересекающимися сегментами. Понимание отсутствия скрещивания сложно. Это). Для (б) преследование обусловлено попыткой понять непересекающиеся. Я думаю, вы согласитесь, что эти ответы неадекватны.

— Джозеф О'Рурк

Для справки, делать то же самое для точек в выпуклом положении - это домашнее задание через каталонские числа. Это потому, что мы можем охарактеризовать непересекаемость хорошим способом с помощью сбалансированных скобок (давая доверие к пункту (а))

— Суреш Венкат

Я бы сказал, что эта проблема не имеет прямого отношения к EDC. Главным образом потому, что ключевой вопрос характеризует непересекающиеся пары, а также потому, что этот вопрос имеет гораздо более сильный топологический, нежели геометрический характер (и у нас есть косвенные доказательства того, что EDC является по сути геометрическим)

— Суреш Венкат

Ответы:

Вот еще одна «прикладная» причина, по которой мы заботимся о триангуляции. Существует множество работ по сжатию мешей, цель которых состоит в том, чтобы использовать как можно меньше битов для каждой вершины для кодирования меша (главным образом для помощи в хранении и передаче). Конкретное основание показателя степени в количестве триангуляций набора плоских точек обеспечивает теоретико-информационную нижнюю границу количества битов, необходимых для каждой вершины (в частности, триангуляций означают, что вам нужно по крайней мере 8,48 битов на вершину). Затем такие границы можно сравнить с реальными схемами сжатия сетки, чтобы определить их эффективность. $8.48^n$

— Суреш Венкат
источник

Отличная мысль, Суреш! Я не думал об этой связи.

— Джозеф О'Рурк

Нижняя граница была немного улучшена до $\Omega(8.65^n)$ ( см. arXiv здесь ). Я стараюсь обновлять границы различных вариантов этой проблемы на этой веб-странице (извините за эту бесстыдную саморекламу).

Мне очень нравится ваше утверждение, что проблема трудна, потому что «непонимание непросто». $30^n$ Оценка (и некоторые из предыдущих границ) опирается на связь между числом триангуляций и ожидаемыми свойствами случайной триангуляции (выбираемой равномерно из набора всех возможных триангуляций набора точек). Это превращает проблему в изучение ожидаемых свойств случайной триангуляции, что затруднительно, потому что отсутствие пересечения не позволяет нам использовать стандартные вероятностные инструменты (например, мы не можем выбрать каждое ребро с некоторой вероятностью $p$ потому что это может вызвать некоторые пересечения). Таким образом, отсутствие пересечения вынуждает нас разрабатывать новые методы изучения случайных графов.

— Адам Шеффер
источник

это хороший сайт.

— Суреш Венкат