Когда свойство FO убивает NL-твердость?

Контекст: мы рассматриваем только орграфы. Пусть CYCLE будет языком графов с циклом; это NL-полная проблема. Пусть HASEDGE будет языком графов с хотя бы одним ребром. Тогда не тривиально, $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ больше не NL-трудно, в то время как $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$ пребывания так.

Актуальная проблема: мне интересно, если язык

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$ по-прежнему NL-труден.

Вопрос: Для какой формулы FO $\phi$ на словаре графов

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$ NL-трудно? Является ли это свойство разрешимым?

Спасибо за ваш вклад!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— Михаэль Кадилхак
источник

Ответы:

Позвольте мне назвать имущество в вашей «Актуальной проблеме» . Следующее сопоставление уменьшает до : $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

Для данного замените каждую вершину в двумя копиями и , и если в есть ребро , пусть имеет ребра и $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ . Таким образомдля любого граф удовлетворяет . $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

Кроме того, имеет цикл, если имеет цикл, поэтому удовлетворяет если удовлетворяет . Поэтому является NL-трудным. $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

Я думаю, что подобная конструкция будет работать для каждого чисто универсального свойства.

— Ян Йоханнсен
источник

Спасибо за вашу работу, Ян! Но я не уверен, что вы полностью решили проблему, поскольку если в G появляется структура NODIAG, она все равно появляется в конце вашей конструкции, AFAIU.

— Михаэль Кадилхак

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

Ян, мне очень жаль, я перепутал формулировку своего вопроса; описанный подграф должен рассматриваться как ИСКЛЮЧЕННЫЙ граф. Обратите внимание, что с предыдущей формулировкой вам просто нужно добавить четыре свежих узла и ребра , и чтобы на графике не было NODIAG. Опять же, мне очень жаль за опечатки.

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— Михаэль Кадилхак

(PS: Поскольку я в долгу перед вами за работу над неверно сформулированным вопросом, вот документ TCS с хорошим названием, которого нет в вашем списке: « Бриллианты навсегда» (The Variety DA) Тессона и Териена.)

— Микаэль Кадилхак,

В этом случае, как насчет простого добавления новой вершины в каждое ребро: в замените каждое на и . Результирующий граф является циклическим, если есть и не имеет исключенной структуры. Кстати, я больше не поддерживаю этот список.

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Ян Йоханнсен

Актуальная проблема в ФО. Проверка, существуют ли такие, что и явно в FO. $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

Предположим, что таких , тогда допускает направленный цикл тогда и только тогда, когда допускает направленный цикл длины два. Это можно сделать из того факта, что для любых двух вершин и группы их окрестности и таковы, что или . $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

Таким образом, достаточно проверить, существуют ли такие, что , который находится в FO. $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

Таким образом, находится в тогда и только тогда, когда $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— Adrien
источник

Спасибо Адриен. Не хотите ли добавить аргумент, почему внешние окрестности любых двух узлов сопоставимы? Я подожду немного, чтобы посмотреть, решит ли кто-нибудь всю проблему, и если никто не появится, я пойду за вашим ответом.

— Михаэль Кадилхак

Я не думаю, что сопоставимость окрестностей действительно имеет место. Возьмем, к примеру, график из четырех вершин с ребрами и . Этот граф удовлетворяет формуле Майкла, но несопоставим с .

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— Ян Йоханнсен

@Jan: Если я не ошибаюсь, Адриен считает, что если график <i> не </ i> удовлетворяет второй части, то если у него есть цикл, он имеет цикл длины 2. Таким образом, его точка что если граф <i> не </ i> удовлетворяет второй части, то сопоставимость справедлива.

— Микаэль Кадилхак