Быстрое кодирование сбалансированных векторов

Легко видеть, что для любого существует отображение 1-1 из {0,1} в {0,1} такое, что для любого вектор равен " сбалансированный », т. е. имеет равное количество единиц и нулей. Можно ли определить такое чтобы при заданном мы могли эффективно вычислить ? $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

Спасибо.

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— Петр
источник

Я предполагаю, что под «эффективным» вы подразумеваете O (n) или около того, исключая аргумент «повторных случайных испытаний»?

— Суреш Венкат

@Suresh, Вы могли бы набросать аргумент "повторных случайных испытаний"?

— Эмиль

Один из способов доказать, что отображение существует, - это вероятностный метод: выбрать F случайным образом, и затем отображение работает с некоторой вероятностью. это то, что я имел в виду.

— Суреш Венкат

Вопрос совершенно четко определен, но, на мой взгляд, название вводит в заблуждение. Я бы не назвал отображение F, удовлетворяющее указанному условию, «кодированием сбалансированных векторов», если только F не является биективным. Это больше походит на кодирование п-битовую строку с помощью сбалансированного вектора.

— Цуёси Ито

Я имею в виду «совершенно четко определенные», вплоть до, возможно, различных интерпретаций «эффективно». Но это не главное в моем предыдущем комментарии.

— Цуёси Ито

Ответы:

Давайте рассмотрим битные строки . Определения: $n$ $x$

= строка битов с последнимидополненными битами . $f(x,i)$ $x$ $i$
= "дисбаланс" : число 1 с в число 0 с в . $b(x)$ $x$ $x$ $-$ $x$

Теперь исправьте строку . Рассмотрим функцию . Замечания: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

. $g(0) = b(x)$
. $g(n) = -g(0)$
для всех . Мы либо удаляем один 0 и добавляем один 1, либо наоборот. $|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

Теперь следует, что существует такое , что . $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

Следовательно, мы можем построить -битную строку следующим образом: объединить и двоичное кодирование индекса . Абсолютное значение дисбаланса составляет . Более того, мы можем восстановить учетом ; отображение биекция. $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

Наконец, вы можете добавить фиктивных битов, которые уменьшают дисбаланс с до . $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Юкка Суомела
источник

b (x) в 3-й строке должно быть b (y).

— Эмиль

Я думаю, что вам, возможно, нужно добавить еще один бит в строку x, чтобы убедиться, что она имеет четную длину (чтобы вы могли быть уверены, что g (i) равно нулю для некоторого i).

— Эмиль

@Emil: я не утверждаю, что

будет нулем для некоторых

; достаточно, чтобы абсолютное значение

«довольно малым» для некоторого

(не более логарифмического значения было бы достаточно, но легко показать, что для некоторого

оно будет не более

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

— Юкка Суомела

@Jukka: Ах да, я вижу.

— Эмиль

Но да, вы правы, есть много вариантов одного и того же базового подхода. Например, как вы предложили, вы можете сначала использовать бит дополнения, чтобы гарантировать, что

будет равен нулю для некоторого

; затем вы можете кодировать

, используя пары битов

или

, то есть

дополнительных бит; тогда результат объединения строго сбалансирован, и вам не нужно ничего добавлять.

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

— Юкка Суомела

Используйте отображение, которое сохраняет лексикографический порядок. Для того, чтобы найти -м длина- сбалансированный вектор с 1 - х, это сделать рекурсивно: если $k$ $n$ $n/2$ , затем установите первый бит 0 и затем найдитевектордлины-с1 для завершения оставшихсябитов. В противном случае установите первый бит 1 и найдите $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ -йвектордлиныс1. $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
источник

И если вы повторно используете значение биномиального коэффициента для вычисления следующего требуемого биномиального коэффициента, весь алгоритм выполняется за O (n) времени.

— Цуёси Ито

Спасибо! Это имеет смысл. Я предполагаю, что время выполнения будет зависеть от вычислительной модели. Если вы можете выполнять операции над n-битными числами в единицу времени, реализация Tsuyoshi Ito будет выполняться за O (n) времени. С другой стороны, если вы посчитаете битовые операции, я думаю, что время будет O (n ^ 2).

— Петр