Сложность минимизации размера полиномиальной формулы

Пусть - многочлен степени от переменных над , где - постоянная (скажем, 2 или 3). Я хотел бы найти наименьшую формулу для , где «формула» и «размер формулы» определены очевидным образом (например, наименьшая формула для полинома равна ).$f(x_1,\dots,x_n)$$d$$n$$\mathbb{F}_2$$d$$f$$x_1 x_2 + x_1 x_3$$x_1(x_2+x_3)$

В чем сложность этой проблемы - сложна ли она? Зависит ли сложность от ?$d$

[Более формально, формула (также известная как «арифметическая формула») представляет собой корневое двоичное дерево, каждое из листьев которого помечено либо входной переменной, либо константой 1. Все остальные вершины дерева помечены знаком или . Размер формулы - количество использованных листьев. Формула вычисляет полином рекурсивно: вершины вычисляют сумму своих дочерних элементов по , вершины вычисляют произведение. ]$+$$\times$$+$$\mathbb{F}_2$$\times$

Вы можете свести проблему ТАУТОЛОГИИ со-NP-Complete (учитывая булеву формулу, тавтология?) К проблеме минимизации размера формулы (поскольку формула является тавтологией, если она эквивалентна ИСТИНА). Более того, TAUTOLOGY для 3DNF (аналогично SAT для 3CNF) является со-NP-Complete.

Не совсем ответ, но, надеюсь, поможет:

Этот вопрос должен быть NP сложным уже для d = 2, если вы хотите знать минимальную формулу для полиномов, а не только для одного. Доказательство состоит в следующем: существует однозначное соответствие между n формулами (формулами типа ) и тензорными 3 матрицами, т.е. элементами в , Так что тензорный ранг матрицы в точности представляет собой сложность умножения n билинейных формул.$n$$\sum a_{ij}x_iy_j$$F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

Известно, что тензорный ранг является NP-трудной задачей (вероятно, аппроксимация тензорного ранга также является NP-трудной). Таким образом, сложность умножения билинейных формул является NP-трудной задачей$3$$n$

Любой ответ на этот вопрос во многом зависит от словарного запаса, который вы допускаете в ответе. Если вы хотите, чтобы ваш ответ был на том же языке, что и входные данные (т. Е. В виде полинома), это приводит к одному набору ответов, с которым боролись другие постеры.

Но если вы позволите расширить свой словарный запас , могут произойти удивительные вещи. Вы можете видеть пример в символическом против автоматического дифференцирования: в символическом дифференцировании допускаются только «выражения», которые имеют тенденцию взрываться довольно сильно; в автоматическом дифференцировании в ответ допускаются прямые программы (даже если входные данные были выражением), что значительно помогает контролировать набухание выражения. Для одномерных многочленов Джеймс Давенпорт и я размышляли что вам необходимо добавить циклотомические полиномы как часть вашего основного словарного запаса (см. ссылки о том, почему эти полиномы кажутся единственным реальным источником раздувания, а также статьи, которые показывают различные результаты сводимости между полиномиальными задачами). и 3SAT).

Другими словами, если вы позволите себе немного отличаться от того, что вы считаете ответом, от классического, вы можете просто получить довольно другой ответ, то есть с гораздо большей сложностью. Это зависит от вашей первоначальной мотивации задать вопрос, будь то чисто теоретический или с учетом применения, чтобы решить, является ли этот вариант в словаре приемлемым для вас. В обстановке, в которой мы с Джеймсом думали об этом (символическое вычисление), корректировка словарного запаса для снижения сложности вполне приемлема (хотя это и делается редко).

Общая минимизация схем / формул, безусловно, сложнее, чем проверка идентичности, поскольку минимальный размер формулы любой идентичности просто равен нулю. Что касается того, насколько сложнее, у меня нет однозначного ответа, но, возможно, «алгоритмы реконструкции», изучаемые в арифметических схемах / формулах, могут быть чем-то вроде этого

В этих случаях вам дают черный ящик и говорят, что это формула в некотором классе (скажем, схема глубины ). Цель состоит в том, чтобы создать представление черного ящика в (что-то близкое к) . Как правило, большинство результатов реконструкции предполагают проверку идентичности черного ящика для класса, случайности и иногда других видов запросов. Такие алгоритмы реконструкции доступны для определенных ограниченных классов схем, но не для всех классов, для которых мы знаем PIT черного ящика. Шпилка и Иегудаев провели фантастический обзор (pdf) арифметических схем, и одна из глав полностью посвящена алгоритмам реконструкции.$\mathcal{C}$$3$$\mathcal{C}$

Но в вашем случае вы говорите, что является константой, и, следовательно, даже если вход был задан как черный ящик, существуют алгоритмы восстановления для разреженных полиномов. Так что, возможно, приведенные выше комментарии не слишком интересны в этом случае.$d$

Кроме того, в случае существуют структурные теоремы для квадратиков. При линейном преобразовании переменных любой квадратик можно переписать в виде . Это свойство было использовано Богдановым и Виолой для построения PRG для полиномов низкой степени (pdf) (лемма 17 их работы).$d=2$$x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$