Подсчет слов, принятых обычной грамматикой

Учитывая регулярный язык (NFA, DFA, грамматика или регулярное выражение), как можно посчитать количество принимаемых слов на данном языке? Интерес представляют как «ровно n букв», так и «не более n букв».

У Маргареты Акерман есть две статьи по теме перечисления слов, принятых NFA, но я не смог изменить их для эффективного подсчета.

Кажется, что ограниченная природа обычных языков должна сделать их подсчет относительно простым - я почти ожидаю, что формула больше, чем алгоритм. К сожалению, мои поиски до сих пор ничего не дали, поэтому я должен использовать неправильные термины.

Для DFA, в котором начальным состоянием является состояние , количество слов длины которые заканчиваются в состоянии равно , где - матрица передачи DFA (матрица, в которой число в строке и столбце - это количество различных входных символов, которые вызывают переход из состояния в состояние ). Таким образом, вы можете легко подсчитать количество принимаемых слов длиной , даже если умеренно велико, просто вычислив степень матрицы и добавив записи, соответствующие принятым состояниям.k i A k [ 0 , i ] A i j i j k $0$$k$$i$$A^k[0,i]$$A$$i$$j$$i$$j$$k$$k$

То же самое работает для приема слов длиной не более с немного другой матрицей. Добавьте дополнительную строку и столбец матрицы, с одним в ячейке, находящейся как в строке, так и в столбце, одним в новой строке и столбце исходного состояния и нулем во всех остальных ячейках. Эффект этого изменения в матрице заключается в добавлении еще одного пути к начальному состоянию при каждой степени.$k$

Это не работает для НФА. Я подозреваю, что лучшее, что нужно сделать, - это просто преобразовать в DFA, а затем применить алгоритм включения матрицы.

$A = (Q = \{q_1, \dots, q_n\}, \Sigma, \delta, Q_F)$$q_1$$Q_F \subseteq Q$$\delta \subseteq Q\times\Sigma\times Q$

$Q_i(z)$$q_i$$n$$[z^n]Q_i = |\{w \mid |w| = n \wedge w \text{ accepted from } q_i\}|$

Очевидно:

$Q_i(z) = \left[ q_i \in Q_F \right] + \sum\limits_{(q_i, a, q_j) \in \delta} x \cdot Q_j(z)$

$Q_1$$[z^n]Q_1$

Это восходит к технике, введенной для грамматик Хомским и Шютценбергером (1963); он легко переходит к конечным автоматам.

$\varepsilon$$x$$a \in \Sigma$$w \in \Sigma^k$$x$$x^k$

Я думаю, что это сложная проблема подсчета, см. Эту статью: Подсчет размера регулярных последовательностей заданной длины # P-полон: S. Kannan, Z. Sweedyk и SR Mahaney. Подсчет и случайная генерация строк на обычных языках. В Симпозиуме ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA), стр. 551–557, 1995.

$\#\mathsf{NC}^1$