Какое минимальное количество битов требуется для хранения головоломки судоку?

Примечание: речь идет о стандартной головоломке судоку 9х9. Решение должно поддерживать только разрешенные, легальные загадки . Таким образом, решение не должно поддерживать пустые ячейки и может полагаться на свойства решенной головоломки судоку.

Мне было интересно, но я не мог придумать ответ, который меня устраивал. Наивное решение будет использовать один байт для каждой ячейки (81 ячейка), всего 648 бит. Более сложное решение будет хранить всю головоломку судоку под номером 9 (одна цифра на ячейку) и потребовать бит.$\lceil\log_2(9^{81}))\rceil = 257$

Но его все еще можно улучшить, например, если вы знаете 8 из 9 чисел в подсетке 3x3, вы можете тривиально вывести 9-е число. Вы можете продолжить эти мысли до такой степени, что этот вопрос сводится к тому, каково количество уникальных решенных судоку? Теперь вы можете использовать огромную таблицу поиска, которая отображает каждое двоичное число в головоломку судоку, но это не будет полезным решением.

Итак, мой вопрос:

Без использования таблицы поиска, какое минимальное количество битов требуется для хранения головоломки судоку и по какому алгоритму?

Вдоль тех же строк, что и в ответе фаната-храповика, если вы заполняете не отмеченные звездочкой ячейки в следующей матрице по 3x3 за раз, всегда выбирая следующее поле для заполнения, чтобы оно было таким, которое разделяет строки или столбцы с ящиком, который вы уже заполнив, вы получите образец, подобный следующему для количества вариантов на шаг (сначала заполняйте верхнюю среднюю ячейку, затем верхнюю правую рамку и т. д.).

В каждом блоке 3x3 после первого, когда вы заполнили одну строку или столбец блока, три из оставшихся шести цифр локализуются в одной строке. Сначала выберите их местоположения, а затем заполните оставшиеся три ячейки. (Таким образом, фактический порядок заполнения ячеек может варьироваться в зависимости от того, что вы уже знаете, но количество вариантов никогда не превышает того, что я показал.)

После того, как вы заполнили эти ячейки, все звезды определены.

* * * 9 8 7 6 5 4
* * * 6 5 4 3 3 2
* * * 3 2 1 3 2 1

6 5 4 * * * 6 3 3
3 3 2 * * * 5 3 2
3 2 1 * * * 4 2 1

6 3 3 6 5 4 * * *
5 3 2 3 3 2 * * *
4 2 1 3 2 1 * * *

Если я рассчитал правильно, это дает 87 бит. В последнем блоке 3x3 есть некоторая дополнительная экономия, согласно комментарию Питера Шора: каждое значение локализовано в одной из четырех ячеек, и каждая строка содержит по крайней мере одну ячейку только с четырьмя возможными значениями, поэтому, безусловно, факторы в этом блок должен начинаться с 4, а не с 6, но я не понимаю остальных факторов в ответе Шора.

Продолжая с ответом @ peter, вот список возможностей наихудшего случая для каждой ячейки, когда вы заполняете его, начиная с верхнего левого

9   8   7       6   5   4       3   2   1
6   5   4       6   5   4       3   2   1
3   2   1       3   2   1       3   2   1

6   6   3       6   5   4       3   2   1
5   5   2       5   5   3       3   2   1
4   4   1       4   2   1       3   2   1

3   3   3       3   3   3       1   1   1
2   2   2       2   2   2       1   1   1
1   1   1       1   1   1       1   1   1

это составляет для 4,24559E + 29 возможностей или 99 бит

редактировать: забыл, что последний квадрат полностью определяется всеми остальными

Вам не нужен полный справочный стол для достижения оптимальной сжимаемости. Я полагаю, что современные компьютеры, использующие очень разумную справочную таблицу, способны подсчитать количество ограниченных Судоку, которые являются Судоку с некоторыми цифрами, уже имеющимися на месте. Используя это, вот как вы кодируете (декодирование аналогично).

$d_1$$N_1$$d_1$$d_2$$N_2$$d_1$$d_2$$N = \sum_i N_i$

$72.4$

Изменить: страница Википедии по математике судоку помогает нам прояснить картину. Также полезна таблица, составленная Эдом Расселом .

Оказывается, что если вы рассматриваете только три верхние строки, то, по сути, есть только 44 различных конфигурации для рассмотрения. В таблице вы можете найти общее количество конфигураций, эквивалентных любой заданной (при условии, что верхняя строка равна 123456789), и общее количество завершений каждой из них. Учитывая судоку, вот как мы бы вычислили его порядковый номер:

1. Нормализуйте конфигурацию так, чтобы ее верхний ряд был 123456789.
2. Узнайте, к какой из 44 различных конфигураций он принадлежит. Статья в Википедии дает алгоритм для этого. В таблице указано количество классов эквивалентности для каждой конфигурации, а также количество дополнений.
3. Определите порядковый номер конфигурации трех верхних строк в своем классе эквивалентности. Это можно сделать двумя способами: либо с использованием списка всех классов эквивалентности (всего 36288 во всех классах эквивалентности), либо путем поиска способа быстрого перечисления всех из них.
4. Нормализуйте оставшиеся строки, отсортировав строки 4-6 и 7-9 по их первому столбцу, а затем отсортируйте эти два блока строк произвольным образом. Это уменьшает количество завершений в 72 раза.
5. $2^{20}$
6. $i$$j$$k$$C_i,D_i$$C_i + jD_i + k$$9! \cdot 72$

Эта процедура обратима и генерирует судоку из порядкового номера. Обратите внимание, что счет Судоку был сокращен до нескольких минут (в 2006 году; см. Страницу обсуждения статьи в Википедии) или меньше, поэтому я ожидаю, что на современном компьютере этот подход будет очень практичным и займет несколько секунд или меньше.

Вот алгоритм, который, я подозреваю, даст довольно хорошее кодирование. У вас есть готовая судоку, которую вы хотите сжать, и, скажем, вы уже закодировали некоторые ее ячейки, так что есть частичная судоку (не обязательно с уникальным решением) с заполненными ячейками.

Используйте фиксированный алгоритм, чтобы подсчитать, сколько чисел можно поместить в каждую пустую ячейку. Найдите первую лексикографическую ячейку, в которую можно поместить наименьшее количество различных чисел, и закодируйте, какое из этих чисел входит в нее (так что если ячейка может содержать только 3, 7 или 9, 3 кодируется как «0». ", 7 на" 1 "и 9 на" 2 "). Кодируйте полученную последовательность, используя арифметическое кодирование (которое учитывает количество возможных чисел, которые может содержать ячейка).

Я не знаю, какой длины будет полученная двоичная последовательность, но я подозреваю, что она довольно короткая, особенно если ваш алгоритм подсчета количества чисел, помещаемых в ячейку, достаточно сложен.

Если бы у вас был хороший алгоритм, который оценивал вероятность каждой ячейки, содержащей данное число, вы могли бы сделать еще лучше.

Любые комментарии и критика приветствуются

$69.96$$171.72$

1.) Хранение головоломки подразумевает хранение решения (информация теоретически).

$t(\alpha)\alpha^{2}$$t(\alpha)$$\alpha$$t(3) ~= 2.44444$$3$

$P$$\alpha^{4}$$t(\alpha)\alpha^{2}$

$M$$\beta \times \alpha^{4}$$\beta \ge 2t(\alpha)\alpha^{2}$$2t(\alpha)\alpha^{2}$$\{0,\pm 1\}$$\beta = kt(\alpha)\alpha^{2}$$k$

$V = MP$$\beta$$|\alpha^{2}|$$M$$\{0,\pm 1\}$

$V$$\beta\log{\alpha^{2}} = 2kt(\alpha)\alpha^{2}\log{\alpha}$

$\alpha = 3$$t(\alpha) ~= 3$$2kt(\alpha)\alpha^{2}\log{\alpha} = 69.96k$$85.86k$$k=2$$139.92$$171.72bits$

$MP$

$A.)$$k$$2$$t(\alpha)-1$

$B.)$$t(\alpha)$$t(\alpha)$$k$$t(\alpha)$${}^{\alpha^{4}}C_{t(\alpha)\alpha^{2}}$${}^{\alpha^{4}-(3\alpha^{2} - 1)}C_{t(\alpha)\alpha^{2}-3t(\alpha)}$

$t(\alpha)\alpha^{2}$

$C.)$$k$

$D.)$ $V$$V$$O(\sqrt(V_{max})) = O(\sqrt{|\alpha^{2}|})$$2$$\beta\log{\alpha^{2}} = 2kt(\alpha)\alpha^{2}\log{\alpha}$

$2k$$2$$A.)$$B.)$$C.)$$D.)$$89$$73$

Это должно сообщить о реализации компактного кодирования завершенного судоку (аналогично предложению Zurui Wang 9/14/11).

Ввод - это верхний ряд и первые 3 цифры второго ряда. Они уменьшены до 1-9! и 1-120 и объединены до <= 4,4x10 ^ 7. Они используются как данные для лексикографического подсчета всех частичных сукокусов из 30 цифр до соответствующей последовательности. Затем окончательный отсчет до всех 81 цифры делается тем же способом. Эти 3 последовательности хранятся в виде 32-разрядных целых чисел, не превышающих 26 бит, поэтому они могут быть сжаты в дальнейшем. Весь процесс занимает около 3 минут, а первые 30 цифр занимают большую часть времени. Декодирование аналогично - за исключением совпадений, а не судоку.

Скоро - Пересмотр включает первые 3 цифры 2-й строки в перечислении 30-значных дополнений (2-й 32-разрядный код), сравнение с перечислением Джарвиса (Jscott, 3/1615)

Я бы пошел со следующим простым анализом:

Каждое значение может быть сохранено в 4 битах (в диапазоне от 1 до 9, эти три бита даже допускают 0-16)

$9 \times 9 = 81$

$8 \times 8$

Я думаю, я мог бы уменьшить его до:

$b = \lceil \log_2(v) \rceil (n-1)$

где

$v$

$n$

Редактировать: Нео Стиль: я знаю латекс.

Это число отличается для каждого судоку. Одним из правил для судоку является то, что у него есть только одно решение.

Итак, если вы посмотрите на пример, это минимальный объем данных, которые вы должны хранить.

Если вы работаете с противоположной стороны, вы можете удалить цифру за цифрой и запустить солвер для результата, чтобы увидеть, есть ли у него точно одно решение. Если это так, вы можете удалить еще одну цифру. Если нет, вы должны восстановить эту цифру и попробовать другую. Если вы не можете, вы нашли минимум.

Поскольку большинство головоломок начинаются в основном с пустого места, кодирование длин серий, вероятно, даст хорошие результаты.