Консенсусная кластеризация с использованием множества объединений

Я уже публиковал этот вопрос некоторое время назад в MathOverflow , но, насколько мне известно, он все еще открыт, поэтому я публикую его здесь в надежде, что кто-то мог о нем слышать.

Постановка задачи

Пусть , Q и R - три разбиения на p непустых частей (обозначаемых через P h 's, Q i ' и R j 's) множества { 1 , 2 , … , n }. Найдите две перестановки π и σ, которые минимизируют p ∑ i = 1 | P i ∪ Q π i ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

Вопросов

1) Какова сложность этой проблемы (или соответствующей проблемы решения)?

2) Если задача действительно разрешима за полиномиальное время, остается ли она верной для любого числа разбиений?$k\geq 4$

Предыдущая работа

Берман, DasGupta, Kao и Wang ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) изучают аналогичную проблему для разделов, но с использованием парных Δ вместо ∪ в приведенной выше сумме. Они доказывают, что задача является MAX-SNP-трудной для k = 3 , даже когда каждая часть имеет только два элемента, путем сведения MAX-CUT на кубических графах к частному случаю их задачи, и дают ( 2 - 2 / k ) -приближение для любого k . До сих пор я не смог найти свою проблему в литературе или адаптировать их доказательства.$k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

Легкие кейсы

Вот некоторые случаи, которые, как я обнаружил, разрешимы за полиномиальное время:

• случай ;$k=2$
• случай для любого k ;$p=2$$k$

Более того, когда , две части не равны, и все части имеют размер 2 , у нас есть нижняя граница 3 p + 1 (я не знаю, плотно ли она).$k=3$$2$$3p+1$

Проблема NP-сложная. Доказательством является уменьшение от следующей проблемы:

$G$$N$$N$$G$

$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$$P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

$3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$