Учитывая граф, решите, является ли его пограничное соединение по крайней мере n / 2 или нет

В главе 1 книги «Вероятностный метод» Алона и Спенсера упоминается следующая проблема:

Учитывая граф , решите, является ли его граничная связность по крайней мере или нет. $G$ $n/2$

Автор упоминает о существовании алгоритма от Matula и улучшает его до . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

У меня такой вопрос, каково самое известное время выполнения этой проблемы?

Позвольте мне описать улучшенный алгоритм.

Во-первых, определите, имеет ли минимальную степень не ниже или нет. Если нет, то граничная связность явно меньше . $G$ $n/2$ $n/2$

Затем, если это не так, вычислите доминирующий набор из размера . Это можно сделать за время по алгоритму, описанному в предыдущем разделе книги. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Далее используются следующие не очень трудные для доказательства факты:

Если минимальная степень равна , то для любого сечения ребра размером не более который делит на и , любое доминирующее множество должно иметь свои вершины как в и в . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

Теперь рассмотрим доминирующее множество . Так имеет минимальную степень , любой край срез размером менее должен также отделить . Таким образом, для каждого мы находим размер наименьшего среза ребра, который разделяет и . Каждая из этих вещей может быть выполнена за время с использованием алгоритма максимального потока. Таким образом, общее время занимает . $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Винаяк Патхак
источник

Между прочим, конечно, улучшение алгоритма максимального потока также приведет к улучшению. Но я предполагаю , что

лучший алгоритм Макс-поток известен в настоящее время?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Винаяк Патхак

Может быть, я что-то недопонимаю, но разве алгоритм рандомизированного mincut Каргера-Стейна не имеет времени работы

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Сашо Николов

Есть

ожидаемое время работы? Алгоритм, который я описал, является полностью детерминированным.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Винаяк Патхак

Алгоритм Монте-Карло: он всегда завершается за время

и выдает минимальный разрез с высокой вероятностью. Конечно, вероятность сбоя обратно пропорциональна времени работы. Извините, учитывая, что вы цитируете Алона-Спенсера, я просто предположил, что алгоритм рандомизирован :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Сашо Николов

Если вы ищете детерминированный алгоритм, я думаю, вы должны указать это в вопросе. Я не знаю детерминированного алгоритма лучше, чем

для минимального сокращения (см. Stoer-Wagner для простого алгоритма, который достигает этого времени выполнения). Интересно, насколько лучше мы можем сделать детерминистически для указанной вами задачи (8/3 в показателе степени кажется неестественным для лучшей оценки, но кто знает).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Сашо Николов

Вы можете легко проверить это за линейное время, поскольку граф имеет граничную связность по крайней мере тогда и только тогда, когда его минимальная степень равна по крайней мере . Вы уже выступали за «только если» часть. Теперь рассмотрим граф, в котором каждая вершина имеет степень не менее и разрез, который делит граф на два множества вершин и с . Вершина в может иметь не более связей с другими вершинами в $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ , и, следовательно, должны вносить не менее кромок в разрез. Таким образом, срез должен иметь размер не менее . Осталось показать, что , что верно, поскольку $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ . $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Как ни странно, единственная ссылка, которую я нахожу на этот результат, это на конференции по биоинформатике. Мне было бы очень любопытно посмотреть, было ли это доказано где-то еще.

Отредактируйте: более ранняя ссылка: Гэри Чартранд: Теоретико-графический подход к проблеме коммуникации , SIAM J. Appl. Математика 14-4 (1966), с. 778-781.

— Фальк Хюффнер
источник