Последствия

Мы знаем, что если то весь PH разрушается. Что если полиномиальная иерархия частично разрушится? (Или как понять, что PH может рухнуть выше определенной точки, а не ниже?)$P=NP$

Короче говоря, каковы будут последствия и P ≠ N P ?$NP=coNP$$P\ne NP$

Для меня одно из самых основных и удивительных следствий - это наличие коротких доказательств для целого ряда проблем, где очень трудно понять, почему у них должны быть короткие доказательства. (Это своего рода шаг назад от «Какие другие последствия сложности имеет этот коллапс?» К «Каковы основные, практические причины, по которым этот коллапс будет удивительным?»)$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Например, если , то для каждого графа, который не является гамильтоновым, существует краткое доказательство этого факта. Аналогично для графиков, которые не являются 3-раскрашиваемыми. Аналогично для пар графов, которые не изоморфны. Аналогично для любой тавтологии высказываний .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

В мире, где , трудность доказательства пропозициональной тавтологии заключается не в том, что у некоторых коротких тавтологий есть длинные доказательства - потому что в таком мире у каждой тавтологии есть полиномиально короткое доказательство, - а скорее из-за того, что есть некоторые Другая причина, по которой мы не можем найти эти доказательства эффективно.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Если мы также предположим, что , то гипотеза также вызовет коллапс рандомизированных классов:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ . Хотя предполагается, что все они безоговорочно рухнут в P , все равно остается открытым, действительно ли это произойдет. В любом случае, N P = c o N P , по-видимому, не означает, что эти рандомизированные классы разрушаются.$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

Если их нет, то есть, по крайней мере, у нас есть , то вместе с гипотезой N P = c o N P это будет иметь еще одно важное следствие:$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ . Это следует из результата Babai, Fortnow, Нисан и Wigderson,котором говоритсячтоесли все унарные (приблизительно) языки в P H попадают в P , то B P P = P . Таким образом, если Б Р Р ≠ Р , то они не могут все попадают в P , как N P = C ö N P предположение означает P H = N P . Следовательно, в N P - P должен быть язык подсчета$\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$, И, наконец, присутствие языка в учетный хорошо известно, подразумевает E ≠ N E .$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

Приведенные выше рассуждения показывают интересный эффект , что гипотеза, несмотря на то , коллапс, фактически усиливает разделяющую силу B P P ≠ P , так как последний в одиночку не известно, подразумевает E ≠ N E . Эта «аномалия» , кажется, поддерживает гипотезу B P P = P .$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

${\bf \#P}$

${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko Показано, что существует оракул, который заставляет PH разрушаться на k-м уровне. См. «Ker-I Ko: Релятивизированные полиномиальные иерархии времени, имеющие ровно K уровней. SIAM J. Comput. 18 (2): 392-408 (1989)».