Решение линейного программирования за один проход с упорядоченными переменными

У меня есть семейство задач линейного программирования: максимизировать учетом , . Элементы , и являются неотрицательными целыми числами, строго положительными. ( также должен быть целым, но я буду беспокоиться об этом позже.)$c' x$$A x\le b$$x\ge0$$A$$b$$c$$c$$x$

В моем приложении часто случается, что коэффициенты и таковы, что упрощенный однопроходный алгоритм дает оптимальное решение для каждого выбора : однопроходный алгоритм определяет элементы в последовательности, выбирая каждый - максимально возможное значение, согласующееся с уже определенными значениями . В симплексном языке последовательность ввода переменных составляет от до и заканчивается через шагов. Это экономит много времени по сравнению с полнофункциональным симплексом.$A$$c$$b$$x_1,\dots,x_n$$x_j$$x_1,\dots,x_{j-1}$$x_1$$x_n$$n$

Этот алгоритм работает, когда столбцы и элементы отсортированы от «дешевых» до «дорогих». «Дешевая» переменная - это столбец с обычно небольшими значениями, для которого соответствующий элемент большой: для этого элемента вы получаете много выходных данных с не очень большой нагрузкой на ограничение . Таким образом, алгоритм просто говорит «делай сначала простые вещи».$A$$c$$A$$c$$x$$b$

Мой вопрос: какое свойство и может заверить нас, что этот упрощенный алгоритм работает для всех ? Моя первоначальная гипотеза состояла в том, что ненулевые элементы должны увеличиваться в каждой строке, но это не правильно.$A$$c$$b$$A$

Вот несколько примеров, все с : $c=(1,1,1)$$A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$ , $A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, Для всего этого последовательный алгоритм дает оптимальное решение для всех значений$b$ (путем численных экспериментов). $A_3$ это единственный, для которого все перестановки столбцов также работают. $A_1$ а также $A_3$ особенно сбивают с толку, так как $(1,1,3)$ выглядит дороже, чем $(1,3,0)$ а также $(1,1,1)$ дороже чем $(1,0,0)$,

Я был бы чрезвычайно признателен за любые ссылки на литературу, за любые подобные проблемы, или любые предложения вообще. Должны быть и другие случаи, когда некоторые переменные могут быть определены как «более дешевые», чем другие, и их можно безопасно сделать в первую очередь. Со всей работой, проделанной за линейное программирование на протяжении многих лет, кажется, что-то похожее должно было произойти, но я не смог найти это.

Вероятно, наиболее известный случай, когда жадный алгоритм, как известно, решает LP, относится к частному случаю проблемы транспортировки. Хоффман («О простых линейных программах», в выпуклости , том 7 « Трудов симпозиумов по чистой математике» , стр. 317-327, 1963) доказал, что если матрица затрат для (максимизации) транспортной задачи удовлетворяет свойству Монжа ($c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$ когда $1 \leq i < k \leq n$, $1 \leq j < l \leq n$) тогда оптимальное решение может быть найдено жадным способом, подобным тому, который вы описываете.

У Хоффмана также есть обзорная статья (« О жадных алгоритмах, которые преуспевают ») от 1985 года, в которой он обсуждает известные случаи, когда жадный алгоритм дает оптимальное решение для LP. Помимо его собственной работы, процитированной выше (о которой он говорит, «большинство проблем линейного программирования, известных [к 1963 г.] как восприимчивые к жадному алгоритму, были частными случаями идеи Монжа»), он упоминает интерпретацию Эдмондса линейного программирования обобщение матроидов и обсуждение случая, когда$A$ неотрицательный, между прочим.

Я полагаю, что есть более свежие результаты, но, надеюсь, это хотя бы частично ответит на ваш вопрос и даст вам представление о том, где еще искать.

Благодаря предложению профессора Спиви я, наконец, нашел то, что я считаю современным: Ульрих Фейгл, Алан Дж. Хоффман и Уолтер Керн, «Характеристика неотрицательных матриц Бокса-Жадности», SIAM J. Disc. Математика 9 (1996), стр. 1-6. Матрица «жадная», если алгоритм, который я описал выше, дает оптимальное решение для всех$b$, Матрица является «коробчато-жадной», если жадный алгоритм дает оптимальное решение с дополнительным условием$x\le d$ для всех $b$ и все $d\ge0$, Ясно, что жадность в поле - более сильное условие, чем жадность.

Всегда предполагайте, что $c_1\ge\dots\ge c_n>0$, Файгл, Хоффман и Керн доказывают это$A$ коробка жадная, если и только если она не имеет $k\times(k+1)$ (для любой $k$) подматрица формы $\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$ с каждым $r_j>0$ а также $\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$, При извлечении подматриц допускаются произвольные перестановки строк, но не столбцов, а также разрешается произвольная подстановка строк и столбцов. Таким образом, в частности, с$k=1$ненулевые элементы в каждом ряду $A$ должно быть неубывающим.

К сожалению, оказывается, что в моей задаче матрицы не являются жадными, хотя я все еще считаю, что они жадные. Например, в моем$A_1$выше условие нарушается, и эта матрица не является жадной, хотя она жадная. Насколько я знаю, результатов по выявлению жадных матриц нет.

Самым простым примером для чего-то подобного может быть проблема дробного ранца, когда предметы разрешено дробить. Эту проблему (и ее двойственное значение) можно решить, отсортировав элементы по прибыли на вес, выбрав самую длинную последовательность в этом порядке и выполнив дробную часть последнего элемента.