FPT против W [P] - Параметризованная сложность

В параметризованной сложности, . Предполагается, что каждое из условий является правильным. $\mathsf{FPT} \subseteq \mathsf{W}[1]$ $\subseteq \mathsf{W}[2]$ $\subseteq \ldots \subseteq \mathsf{W}[P]$

Если то . $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$ $\mathsf{P}=\mathsf{W}[P]$

Но следует ли это

Если то ? или $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[1]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$
Если (для некоторого t), то ? $\mathsf{W}[t-1]=\mathsf{W}[t]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Uéverton dos Santos Souza
источник

Что означает нотация «W []»?

— Тайсон Уильямс

Второй вопрос означает «для всех t» или «для некоторого t»?

— Ёсио Окамото

Второй вопрос означает «для некоторого времени»

— Uéverton dos santos souza

Вы не полезный вопросник. Вы не включили определение или ссылки на W-иерархию, хотя кто-то спросил вас об этом. Ответ на ваши вопросы, вероятно, «оба открыты» из-за характеристики W-иерархии как семейства модифицированных цепей AC0 - коллапс W-иерархии будет означать коллапс сложности схемы. (Это считается доказательством того, что каждый уровень W-иерархии является надлежащим подмножеством следующего.) Но я должен был бы проверить некоторые вещи, чтобы опубликовать ответ (не моя область), и вы не принимаете вопрос всерьез.

— Аарон Стерлинг

Параметризованная задача (L, K) принадлежит W [t], если существует k ', вычисленное из k так, что (L, K) сводится к проблеме удовлетворительного веса k' для цепей утка-t. [Дауни, 1997] [Дауни, 1997] Родни Г. Дауни, Майкл Р. Феллоуз, Кеннет В. Риган; Серия отчетов о параметризованной сложности цепей и иерархии W; Центр дискретной математики и теоретической информатики; 1997.

— Uéverton dos santos souza

Этот вопрос сложен, поскольку ответ (насколько я знаю) все еще "не знаю".

Чтобы добавить к этому некоторый вес, Flum & Grohe [1] дают открытые задачи (стр. 164):

Является ли иерархия строгой в предположении ? $\mathrm{W}$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W[P]}$

При из равенства следует ? $t \geq 1$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 1]$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 2]$

Более того, в недавней монографии Дауни и Феллоу [2] самое сильное (прямое) утверждение, которое они делают, это (стр. 521):

Более тонкая гипотеза состоит в том, что иерархия правильная, и, в частности, . $\mathrm{W}$ $\mathrm{W}[1] \neq \mathrm{W}[2]$

Не существует следующего (или более позднего) утверждения в отношении «иначе иерархия рухнет» или подобного. $\mathrm{W}$

Этому также предшествует:

Более слабая гипотеза может быть то , что в течение некоторого , $t$
$F п Т \neq W [T]$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W}[t]$

Подразумевается, что возможно, что без каких-либо других воздействий на иерархию. $\mathrm{FPT} = \mathrm{W}[t-1]$

Ссылки:

Дж. Флум и М. Гроэ, «Теория параметризованной сложности», Springer, 2006.
R. Downey и M. Fellows, «Основы теории параметризованной сложности», Springer, 2014.

— Люк Мэтисон
источник