Проблемы за пределами P, которые не являются P-hard

Читая ответ Питера Шора и предыдущий вопрос Адама Крума, я понял, что у меня есть некоторые неправильные представления о том, что значит быть -hard.$\mathsf{P}$

Проблема -hard, если любая проблема в сводится к ней с помощью (или если вы предпочитаете ) сокращений. Проблема находится вне если не существует алгоритма полиномиального времени для ее решения. Это означает, что должны быть проблемы, которые находятся за пределами но не являются -hard. Если мы предположим, что FACTORING находится за пределами , то ответ Питера Шора предполагает, что FACTORING может быть такой проблемой.$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Существуют ли какие-либо известные проблемы (естественные или искусственные), которые, как известно, лежат за пределами но не являются -hard? Как насчет допущений, более слабых, чем допущение факторинга? Есть ли название для этого класса сложности?$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Если $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ то никакое разреженное множество (даже невычислимое) не может быть $\mathsf{P\text{-}hard}$ .

Заблуждение исходит из того, что мы думаем о классах сложности (и вычислительных задачах) как о создании линейного порядка, который не соответствует действительности. Использование слова «твердость» для задачи может быть использовано для решения других задач в классе, также способствует неправильному представлению. Нижняя граница для проблемы (т.е. отсутствие в классе сложности) не означает, что проблема трудна для класса (то есть может использоваться для решения других проблем в классе). Я не знаю, есть ли лучшая альтернативная терминология для «твердости», которая используется в настоящее время, той, которая использовалась в предыдущие десятилетия, является «универсальность» (которая, IMHO, выразила эту концепцию более точно, и тогда мы могли бы использовать «твердость» для того, чтобы не быть в классе, но изменить установленную терминологию очень трудно).

Я думаю, что вы можете построить множество не в , которое не является P- трудным по аргументу в стиле Ладнера. Вот конкретный пример.$P$$P$

В своей статье «Единообразный подход к получению диагональных множеств в классах сложности» (Theor. Comp. Sci. 18, 1982) Шенинг доказывает следующее:

Теорема Предположим, что , A 2 ∉ C 2 , C 1 и C 2 являются рекурсивно представимыми классами сложности и замкнуты при конечных вариациях. Тогда существует множество A такое, что A ∉ C 1 , A ∉ C 2 , и если A 1 ∈ P и A 2 не тривиальны (пустое множество или все строки), то A является множителем много-один, приводимым к A 2 .$A_1 \notin C_1$$A_2 \notin C_2$$C_1$$C_2$$A$$A \notin C_1$$A \notin C_2$$A_1 \in P$$A_2$$A$$A_2$

Чтобы применить это, установите чтобы быть пустым набором, и A 2, чтобы быть E X P -завершенным при сокращениях polytime, установите C 1, чтобы быть набором P- жестких наборов, которые находятся в E X P , установите C 2 = P , Пустое множество не может быть P -hard (определение P -hardness для языка требует, чтобы в нем был хотя бы один экземпляр, а один - нет). А 2 определенно не в С 2 . С 1 и$A_1$$A_2$$EXP$$C_1$$P$$EXP$$C_2 = P$$P$$P$$A_2$$C_2$$C_1$ может быть проверен на соответствие вышеуказанным условиям (аналогично тому, как это делает Шеннинг для N P -полных множеств; см. Такжеэтот связанный вопрос). Таким образоммы получаем А , который не является P -Жесткой проблемы в Е X Р , и чтоне в P . Но поскольку 1 ∈ P и 2 нетривиально,множество, один приводимым к E X P -полное множество, так что в Е X Р . Поэтому, в частности,$C_2$$NP$$A$$P$$EXP$$A$$P$$A_1 \in P$$A_2$$A$$EXP$$EXP$$A$не может быть жесткий либо.$P$

В приведенном выше аргументе ограничение на трудные задачи в E X P необходимо для обеспечения рекурсивной презентабельности, поскольку задачи P-hard в целом не являются рекурсивно презентабельными и даже не счетными . Теперь "естественные" примеры этого - другая история ...$P$$EXP$

Другой способ генерировать задачи, которые находятся вне P, но не P-hard, - это взять полные задачи для классов, несопоставимых с P. Скажем, класс X несопоставим с P в том смысле, что ни один из них не является подмножеством другого. Тогда X-полная задача обязательно находится вне P (в противном случае P будет включать в себя X) и не является P-трудной (в противном случае X будет включать в себя P).

Я пытался представить некоторые классы, несопоставимые с P, но P - довольно надежный класс, поэтому таких классов не так уж много. Например, RNC и QNC могут быть несопоставимы с P. DSPACE ( ) также могут быть несопоставимы с P. PolyL несопоставимы с P, но не имеют полных проблем при сокращении пространства журналов.$\log^2$