Варианты художественной галереи с попарной видимостью?

Задача традиционной художественной галереи устанавливает регион и охранников с некоторым представлением о видимости и требует минимального количества охранников, которые необходимо разместить, чтобы увидеть весь регион.

Кто-нибудь когда-нибудь смотрел варианты художественной галереи, где область видимости определяется парой охранников? Например, одна формулировка может заключаться в том, что точка покрыта, если есть пара охранников, чей минимальный ограничивающий диск покрывает ее?

reference-request cg.comp-geom

— Суреш Венкат
источник

Quis Custodiet Ipsos Custodes?

— Артем Казнатчеев

Ну, чтобы ответить на вопрос @ Артема, есть понятие связанных охранников , которое имеет два варианта. Позвольте графу видимости быть определенным с вершиной для каждого охранника и ребром между двумя вершинами, если охранники могут видеть друг друга. Если граф видимости подключен, все охранники охраняются (иногда это называется «набор охраняемых охранников»). Более сильным условием является то, что граф видимости имеет один связанный компонент. Тогда у вас есть набор связанных охранников. И да, здесь много работы. Я даже написал в блоге об одной статье.

— Аарон Стерлинг

Ой, вышеприведенное должно гласить: «Если граф видимости не имеет изолированных вершин, все охранники охраняются ...»

— Аарон Стерлинг

"кто охраняет охрану"? моя латинка только свинья :)

— Суреш Венкат

Обратите внимание, что в моей формулировке я не требую, чтобы граф индуцированной видимости был связан. Хотя это может и не быть проблемой с параллельными осям прямоугольниками, на самом деле это может быть проблемой с областями, которые не так хороши (например, с эллиптическими областями). Но указатель на подключенную охрану хорош: я думаю, что, возможно, некоторые варианты моей проблемы могут быть решены таким образом.

— Суреш Венкат

Ответы:

Я не знаю ни о какой такой работе. Тем не менее, я ожидаю, что такая проблема будет NP-полной и для полигонов с отверстиями будет так же трудно аппроксимировать, как Set Cover. Это относительно простая задача защиты вершин / вершин, в которой охранники могут лежать только на вершинах, а охранять нужно только вершины ( Eidenbenz, Stamm и Widmayer (2001) ).

Для простых полигонов, я ожидаю, что такая проблема будет:

NP-полной
APX-жесткий
$O(\log(\rm{opt}))$

Задача защиты вершин / вершин является APX-сложной для простых полигонов ( Eidenbenz (1998) ).

$\varepsilon$ $O(\log(\rm{opt}))$

Я немного подумал об этой проблеме для своего тезиса, но пришел к мнению, что не было никаких особенно интересных вариантов, которые, казалось бы, не сводились достаточно близко к известной проблеме, связанной с одиночной охраной.

— Джеймс Кинг
источник

Скорее опоздал на этот вопрос (извините!). Есть хоть немного работы.

(1) Это, по-видимому, исследовательская работа старшекурсника (Swarthmore): «Оптимальное двойное покрытие в художественной галерее», Скотт Далэйн, Эндрю Фрамптон, 2008, ссылка на PDF . Из их заключения:

$\lfloor 2n/3 \rfloor$ $n^2$

$\lfloor 2n/3 \rfloor$

— Джозеф О'Рурк
источник

Так что я думал об этом. Я думаю, что основное различие между двойным освещением и моей проблемой заключается в том, что существует проблема «связности». Другими словами, ни одна из областей видимости двух охранников не активируется, если они не «видны» друг другу. Легко построить примеры, где вы можете дважды покрыть регион охранниками, которые не видят друг друга. Теперь проблема подключенных охранников уже была рассмотрена, но в другом контексте, который опять-таки здесь не применим - именно там вам требуется, чтобы был подключен график видимости защиты, а мне это не нужно.

— Суреш Венкат

p

$p$

p

$p$

p

$p$

Не совсем. это не чистая видимость. Пара охранников определяет «область видимости», и точка покрывается, если она находится в области видимости охранников. На самом деле охранники, которые не могут видеть друг друга ИЛИ точку в традиционном смысле «прямой видимости», могут «прикрыть» эту точку.

— Суреш Венкат

Спасибо за разъяснение. Эта модель, кажется, отличается от всего, что я знаю.

— Джозеф О'Рурк