Какое количество языков принимается DFA размера

Вопрос прост и прям: для фиксированного , сколько (разных) языков принято DFA размером (то есть $n$ $n$ $n$ состояний)? Я официально заявлю это:

Определите DFA как , где все как обычно и (возможно, частичная) функция. Нам нужно установить это, поскольку иногда только полные функции считаются действительными. $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

Для каждого определите отношение (эквивалентности) на множестве всех DFA как: если и . $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

Тогда возникает вопрос: для данного , каков индекс ? То есть каков размер множества ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

Даже когда - полная функция, это не кажется легким подсчетом (по крайней мере, для меня). Граф может быть не связан, и состояния в связанном компоненте, содержащем начальное состояние, могут все приниматься, поэтому, например, существует много графов размера принимающих . То же самое с другими тривиальными комбинациями для пустого языка и других языков, чей минимальный DFA имеет меньше чем состояний. $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

(Наивная) рекурсия тоже не работает. Если мы возьмем DFA размера и добавим новое состояние, то, если мы хотим сохранить детерминизм и сделать новый граф подключенным (чтобы избежать тривиальных случаев), мы должны удалить переход, чтобы соединить новое состояние, но в этом случае мы можем потерять язык оригинала. $k$

Есть предположения?

Заметка. Я снова обновил вопрос, с формальным заявлением и без предыдущих отвлекающих элементов.

— Janoma
источник

Просто чтобы уточнить: Вы имеете в виду «сколько разных языков можно определить, используя

состояний?», Где язык определяется с использованием

состояний, если существует DFA с

состояниями, которые его принимают. Кроме того, для регулярных выражений регулярное выражение "a * aaaaaa", безусловно, имеет> 1 конкатенации, но DFA требуется только одно состояние (два, если вам нужен отдельный приемник), нет?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Евгений Торстенсен

Извинения: Для примера регулярного выражения это должно быть "a a a a a *", так как это допускает любое число.

— Евгений Торстенсен

Определение

кажется очень связанным с понятием «точка-глубина», за исключением того, что понятие обычно применяется к языкам без звездочек (вероятно, по причинам, изложенным @Evgenij Thorstensen).

c (r)

$c(r)$

— mhum

Тривиальное наблюдение:

состояния могут использоваться для определения как минимум

различных языков.

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— Евгений Торстенсен

Мы можем получить немного больше, поэтому

кажется нормальным. Но число автоматов с n состояниями составляет около

(при условии

). Можем ли мы получить

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— Каве

Я думаю, что этот вопрос был изучен ранее. Майк Домарацки написал обзор исследований в этой области: «Перечень формальных языков», Bull. EATCS, vol. 89 (июнь 2006 г.), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— Герман Грубер
источник

В статье точно указан заданный вопрос, начиная со страницы 120 и далее. Это функция

, и статья дает довольно узкие границы (близкие к тому, что Каве упоминает выше), хотя я не вдыхал все детали.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— Евгений Торстенсен

В самом деле. То, что мы хотим, - это

или, согласно заданному соотношению,

, которое представляет собой число попарно неизоморфных минимальных DFA с

состояниями в алфавите

букв. Я также не рассматривал это подробно, но кажется, что известны только границы, а не точные величины.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

— Янома

И от того же автора у нас есть статья « О числе отдельных языков, принятых конечными автоматами с n состояниями» , которая даже дает явные вычисления для

(

) и

(

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$

— Янома