Проблемы между P и NPC

Факторинг и изоморфизм графов - это проблемы в NP, которые, как известно, не находятся в P и не являются NP-полными. Каковы некоторые другие (достаточно разные) естественные проблемы, которые разделяют это свойство? Искусственные примеры, полученные непосредственно из доказательства теоремы Ладнера, не учитываются.

Является ли какой-либо из этих примеров доказуемо NP-промежуточным звеном, предполагая лишь некоторую «разумную» гипотезу?

Вот коллекция некоторых ответов проблем между P и NPC:

• факторинг
• Проблемы изоморфизма: граф изоморфизма [не NPC, если только ] (через @Jeff Kinne), автоморфизм графа, групповой изоморфизм, автоморфизм, кольцевой изоморфизм и автоморфизм (через @Joshua Grochow)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• Вычисление расстояния вращения между двумя двоичными деревьями или расстояния переворота между двумя триангуляциями одного и того же набора плоских точек (через @David Eppstein)
• Проблема Магистрали по восстановлению точек на линии на расстоянии (через @Suresh Venkat)
• Проблемы, возникающие из гипотезы об уникальных играх (через @Moritz)
• Проблема дискретного журнала и другие, связанные с криптографическими предположениями (через @Joe Fitzsimons)
• Определение победителя в паритетных играх (через @mashca)
• Определение того, кто имеет наибольший шанс выиграть стохастическую игру (через @Peter Shor на МО)
• Проблемы с числами в ящиках (через @Joshua Grochow)
• Контроль повестки дня для сбалансированных турниров с одиночным отбором (через @virgi)
• Тривиальность узлов (через @JeffE)
• (Предполагая NEXP ≠ EXP) дополненные версии NEXP-неполных проблем (через @Joshua Grochow)
• Проблемы в TFNP (через @Marcos Villagra)
• Пересекающийся Monotone SAT (через Андраш Саламон)
• Проблема минимального размера цепи (через @Eric Allender)
• Решение, является ли данное триангулированное 3-многообразие 3-сферой (через @Joe O'Rourke и @Peter Shor)
• Проблема режущего материала с постоянным числом длин объекта (через @Suresh Venkat)
• Монотонная самодуальность (через @Danu)
• Минимальное планарная бисекции (через @turkistany)
• Сумма подмножества Pigeonhole (через @ user834)
• Квадратные коренные суммы (через @JeffE)
• Решение, допускает ли граф изящную маркировку (через @ Александр Бондаренко)
• Разрывная версия ближайшего вектора в задаче решетки GapCVP (через @MCH)$(\sqrt{n})$
• Проблема линейной делимости [известна как -комплектная, но не NPC] (через @ Александр Бондаренко)$\gamma$
• Нахождение измерения VC (через @Mohammad al Turkistany)
• Нахождение минимального доминирующего набора в турнире (через @Mohammad al Turkistany)
• Кластерная планарность

Моя любимая проблема в этом классе (я сформулирую ее как функциональную проблему, но ее легко превратить в решение проблемы стандартным способом): вычислить расстояние вращения между двумя двоичными деревьями (эквивалентно, расстояние переворота между двумя триангуляциями выпуклый многоугольник).

Проблема, которая не упоминается ни в этом списке, ни в списке МО, является проблемой магистрали. Учитывая мультимножество n (n-1) / 2 чисел, каждое число, представляющее расстояние между двумя точками на линии, реконструирует положения исходных точек.

Обратите внимание, что нетривиальным является то, что для заданного числа d в ​​мультимножестве вы не знаете, какая пара точек находится на расстоянии d единиц.

Хотя известно, что для любого данного случая существует только полиномиальное число решений, неизвестно, как его найти!

Суммы задачи с квадратными корнями: для двух последовательностей и b 1 , b 2 , … , b n натуральных чисел A : = ∑ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ меньше, равно или большеB:=∑i$A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ?$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• У проблемы есть тривиальный алгоритм времени в реальном ОЗУ - просто вычислите суммы и сравните их! - но это не подразумевает членство в P.$O(n)$

• Существует очевидный алгоритм конечной точности, но неизвестно, достаточно ли полиномиального числа битов точности для правильности. (Подробнее см. Http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html .)

• Теорема Пифогора подразумевает, что длина любой многоугольной кривой, вершины и целочисленные конечные точки которой являются суммой квадратных корней целых чисел. Таким образом, проблема суммы корней присуща нескольким задачам плоской вычислительной геометрии, включая евклидовы минимальные остовные деревья , евклидовы кратчайшие пути , триангуляции с минимальным весом и евклидову задачу коммивояжера . (Евклидова проблема MST может быть решена за полиномиальное время без решения проблемы суммы корней благодаря базовой структуре матроида и тому факту, что EMST является подграфом триангуляции Делоне.)

• Там является полиномиальный вероятностный алгоритм, благодаря Йоханнес Blömer , чтобы решить , являются ли две суммы равны. Однако, если ответ отрицательный, алгоритм Бломера не определяет, какая сумма больше.

• Вариант решения этой проблемы ( ?) Даже не известен в NP. Тем не менее, алгоритм Бломера подразумевает, что если задача решения находится в NP, то она также в co-NP. Таким образом, проблема вряд ли будет NP-полной.$A > B$

Вот список проблем, которые могут или не могут квалифицироваться как «достаточно» разные. По тому же доказательству, что и для изоморфизма графов, если любой из них NP-полон, то полиномиальная иерархия разрушается до второго уровня. Я не думаю, что существует какой-либо широкий консенсус относительно того, какой из этих «должен» быть в P.

• Автоморфизм графа (определите, имеет ли граф нетривиальный автоморфизм). Сводит к графу Изоморфизм, но не известен (не думал?), Что GI-трудно.
• Групповой изоморфизм и автоморфизм (где группы задаются своими таблицами умножения). Опять же, сводится к графу Изоморфизм, но не считается трудным GI.
• Кольцевой изоморфизм и автоморфизм. В некотором смысле это дедушка всех вышеперечисленных проблем, поскольку целочисленный факторинг эквивалентен нахождению нетривиального автоморфизма кольца, а изоморфизм графов сводится к кольцевому изоморфизму. См. Нирадж Каял, Нитин Саксена. Сложность проблем кольцевого морфизма. Вычислительная сложность 15 (4): 342-390 (2006). (Интересно, что определение того, имеет ли кольцо нетривиальный автоморфизм, находится в )$P$
• Этот пост Билла Гасарха содержит некоторые другие проблемы со вкусом теории Рамси, которые выглядят так, будто они могут быть промежуточными.
• По теореме Махани никакое разреженное множество не может быть NP-полным. Но мы также знаем , что существуют редкие множества в - P тогда и только тогда N E X P не равно E X P . Таким образом, предполагая, что N E X P ≠ E X P , дополненная версия любой N E X P -полной задачи имеет промежуточную сложность. (Такой набор не может быть в P, если N E X P = E X $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$, противореча нашему предположению.) Существует множество естественных -полных проблем.$NEXP$

Проблема минимального размера схемы (MCSP) - моя любимая «естественная» проблема в NP, которая, как известно, не является NP-полной: учитывая таблицу истинности (размером n = 2 ^ m) m-вариативной булевой функции f, и учитывая число s, f имеет схему размера s? Если MCSP прост, то криптографически безопасной односторонней функции не существует. Эта проблема и ее варианты послужили основной мотивацией для изучения алгоритмов "грубой силы" в России, что привело к работе Левина по NP-полноте. Эту проблему также можно рассматривать с точки зрения ограниченной по ресурсам сложности Колмогорова: вопрос о том, можно ли быстро восстановить строку из краткого описания. Эта версия проблемы была изучена Ко; Насколько я знаю, имя MCSP было впервые использовано Цай и Кабанец. Больше ссылок можно найти в некоторых моих статьях: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

Монотонная двойственность

$f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$$f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$$f(x_1, x_2, ..., x_n)$$f=f^d$

$\log^2 n$$O(\log^2n/ \log\log n)$$O(n^{\log n/\log \log n})$

Все еще открыто, находится ли эта проблема в P или нет. Более подробную информацию можно найти в статье 2008 года « Вычислительные аспекты монотонной дуализации: краткий обзор » Томаса Айтера, Казухиса Макино и Георга Готтлоба.

Тривиальность узлов: если замкнутая полигональная цепь в 3-мерном пространстве не является ли она узлом (т. Е. Окружающим-изотопным плоской окружности)?

Известно, что это в NP, благодаря глубоким результатам в теории нормальной поверхности, но не известен ни алгоритм на основе многовременного алгоритма, ни доказательство твердости NP.

Неизвестно, можно ли за полиномиальное время решить, есть ли у игрока 1 выигрышная стратегия в игре с паритетом (с заданной стартовой позиции). Проблема, однако, содержится в NP и co-NP и даже в UP и co-UP.

Вы получите очень длинный список проблем, если готовы принять проблемы аппроксимации, такие как аппроксимация Max-Cut с коэффициентом 0,878. Мы не знаем, является ли он NP-трудным или в P (мы знаем только NP-твердость, принимая гипотезу Uniuqe Games).

В монотонной формуле CNF каждое предложение содержит только положительные литералы или только отрицательные литералы. В пересекающейся монотонной формуле CNF каждое положительное предложение имеет некоторую общую переменную с каждым отрицательным предложением.

Решение проблемы

$f$
$f$

$n^{o(\log\ n)}$

• Томас Айтер и Георг Готтлоб, трансверсальные вычисления гиперграфа и связанные с ними проблемы в логике и искусственном интеллекте , JELIA 2002. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_53

Является ли данное триангулированное 3-многообразие 3-сферой? От Джо О'Рурка.

Вершина подмножества суммы (или равенство сумм подмножеств).

Дано:

$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

Задача о сумме подмножества голубых дыр требует такого решения. Первоначально изложено в « Эффективных алгоритмах аппроксимации для задачи РАВЕНСТВА СУБСЕТА-СУМС» Базгана, Сантхи и Тузы.

Есть много проблем, связанных с поиском скрытых подгрупп. Вы упомянули факторинг, но есть и проблема дискретного каротажа, а также другие проблемы, связанные с эллиптическими кривыми и т. Д.

Вот проблема в вычислительном социальном выборе, которая, как известно, не находится в P, и может быть или не быть NP-полной.

Контроль повестки дня для сбалансированных турниров с одиночным отбором:

$T$$n=2^k$$a$

Вопрос: существует ли перестановка узлов ( скобка ), так что a является победителем индуцированного турнира одиночного исключения?

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

Контроль повестки дня для сбалансированных турниров с одиночным отбором (составление графика):

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

Некоторые ссылки:

1. Жером Ланг, Мария Сильвия Пини, Франческа Росси, Кристен Брент Венейбл, Тоби Уолш: определение победителя в последовательном голосовании большинства. IJCAI 2007: 1372-1377.
2. Н. Хазон, П. Е. Данн, С. Краус и М. Вулдридж. Как провести выборы и соревнования. COMSOC 2008.
3. Тхук Ву, Алон Альтман, Йоав Шохам. О сложности задач контроля графика для нокаут-турниров. AAMAS (1) 2009: 225-232.
4. Васильевская В. Уильямс. Фиксация турнира. AAAI 2010.

Взгляните на класс TFNP . У него много проблем с поиском с промежуточным статусом.

Индуцированная проблема изоморфизма подграфа имеет NP-неполные «левые ограничения», предполагая, что P не равно NP. См. Чен Ю., М. Терли, М. Вейер: Понимание сложности изоморфизмов индуцированного подграфа , ICALP 2008.

$NP$$NP$

Задача минимального деления: найдите разбиение множества узлов на две части равного размера, чтобы число пересекающихся ребер было минимальным.

Карпинский, Аппроксимируемость задачи минимального деления на части: алгоритмический вызов

Проблема режущего материала с постоянным количеством объектов. Смотрите это обсуждение для получения дополнительной информации.

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. Я. Галлиан. Динамический обзор маркировки графиков. Электронный журнал комбинаторики, 2009.
2. Д.С. Джонсон. Колонка NP-полноты: постоянное руководство. J. Алгоритмы, 4 (1): 87–100, 1983.
3. Д.С. Джонсон. Столбец NP-полноты. ACM транзакции по алгоритмам, 1 (1): 160–176, 2005.

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Гэри и Джонсон в своей оригинальной статье «Компьютеры и неразрешимость» говорят, что (стр. 158-159):

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

Следующей проблемой считается NP-Intermediate, то есть она находится в NP, но ни в P, ни в NP-полной.

Экспонирующая полиномиальная корневая проблема (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

Для получения дополнительной информации см мой вопрос и связанные обсуждения .

Я не знаю, нельзя ли просто показать, что проблема взвешенного гиперграфа изоморфизма, предложенная в ответе Тин Д. Нгуена, является полной GI. Однако существует GI-трудная проблема, тесно связанная с GI, которая еще не была сведена к GI, а именно проблема изоморфизма струн (также называемая проблемой изоморфизма цветов ). Эта проблема на самом деле показана Ласло Бабаи в квазиполиномиальном времени. Он представляет самостоятельный интерес, поскольку он эквивалентен ряду проблем решения в теории (перестановок) групп:

• проблема пересечения смежных классов
• проблема тестирования членства в двойном классе
• проблема групповой факторизации

Проблема, которая, как известно, ни в FP, ни в NP-сложности, заключается в том, чтобы найти минимальное дерево Штейнера, когда вершины Штейнера обещают упасть на два отрезка прямой, пересекающихся под углом 120 °. Если угол между отрезками линии меньше 120 °, тогда проблема NP-трудная. Предполагается, что когда угол больше 120 °, проблема в FP.

Следовательно, следующая проблема решения в настоящее время имеет промежуточную сложность:

$q$
$q$

Конечно, на самом деле это может быть в P или NP-полной, но тогда кажется, что у нас будет интересная дихотомия при 120 ° вместо промежуточной проблемы. (Гипотеза также может быть ложной.)

• JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, Деревья Штейнера для терминалов, ограниченных кривыми , SIAM J. Discrete Math. 10 (1) 1–17, 1997. doi: 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$