Добавить целые числа, представленные их факторизацией, так же сложно, как и факторинг? Справочный запрос

Я ищу ссылку на следующий результат:

Добавление двух целых чисел в факторизованном представлении так же сложно, как и деление двух целых чисел в обычном двоичном представлении.

(Я уверен, что это там, потому что это то, что я когда-то задавался вопросом, а затем был взволнован, когда я наконец увидел это в печати.)

«Добавление двух целых чисел в факторизованном представлении» является проблемой: учитывая простые факторизации двух чисел и , выведите простую факторизацию . Обратите внимание, что простой алгоритм для этой проблемы использует факторизацию в стандартном двоичном представлении в качестве подпрограммы.у х + $x$$y$$x+y$

Обновление : спасибо Каве и Садеку за доказательства. Очевидно, чем больше доказательств, тем лучше, но я также хотел бы призвать больше помочь в поиске ссылки , которая, как я сказал, я вполне уверен, что существует. Я вспоминаю, как читал об этом в газете с другими интересными и не часто обсуждаемыми идеями, но я не помню, что это были за другие идеи или о чем была статья в целом.

Предположим, что мы можем решить эту проблему (давайте назовем ее FactSum) в классе сложности а C замкнут при лог- итерации (или рекурсии с ограниченным логарифмом ) (например, если мы можем вычислить x ∗ y, где ∗ - двоичная функция, мы можем вычисляется x 1 ∗ … ∗ x log n ) и содержит P (это последнее условие можно сделать более слабым). Мы покажем , что факторинг в также в C .$C$$C$$\log$$\log$$x*y$$*$$x_1*\ldots*x_{\log{n}}$$\mathsf{P}$$C$

Обратите внимание, что каждое число может быть записано как сумма степеней 2 . Каждый из них легко учесть.$\log n$$2$

Теперь, учитывая число, запишите его как сумму его степеней, затем запишите каждое слагаемое в представлении факторинга, а затем используйте алгоритм для суммирования их в представлении факторинга. Результатом будет факторинг входного числа.

Это показывает, что факторинг сводится к итерации вашей проблемы FactSum. Поэтому факторинг находится в P FactSum (и я думаю, что P можно заменить на N C 1 здесь).$\log$$\mathsf{P}^{\text{FactSum}}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC^1}$

Я не знаю ссылки, но я думаю, что я нашел доказательство:

Предположим, у вас есть оракул который при вводе двух факторных чисел$\mathcal{O}$

$x = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

а также

$y = \prod_{i=1}^m q_i^{\beta_i} \enspace$,

выводит факторизацию .$x+y$

Имея доступ к , мы можем разложить любое число N за полиномиальное время, используя следующую рекурсивную процедуру.$\mathcal{O}$$N$

ПРОЦЕДУРНЫЙ фактор ( )$N$

1. Найдите такое простое число , что N / 2 ≤ x ≤ N - 1 , и пусть y = N - x .$x$$N/2 \le x \le N-1$$y = N - x$
2. Если не простое число, получите факторизацию y с помощью фактора рекурсивного вызова ( y ) и выведите O ( x , f a c t o r ( y ) ) .$y$$y$$y$$\mathcal{O}(x, factor(y))$
3. Иначе вывод .$\mathcal{O}(x,y)$

Анализ:

По теореме простых чисел для достаточно большого существует множество простых чисел между N / 2 и N - 1 . Если N настолько мало, что в этом интервале нет простого числа, вы можете легко вычислить N. Следовательно, шаг 1 проходит.$N$$N/2$$N-1$$N$$N$

На шаге 2 вы можете использовать AKS или любой другой тест на простоту за полиномиальное время.

Число рекурсии просто , так как на каждом шаге N разрезается пополам (как минимум)$O(\lg(N)) = O(|N|)$$N$

PS-1: Предположение, что гипотеза Гольдбаха может помочь в ускорении процедуры для четных (и, возможно, нечетных) целых чисел.

PS-2: Используемое сокращение - сокращение Кука. Кто-то может быть заинтересован в проведении доказательства с использованием редукций Карпа.

Этот ответ не зависит от моего предыдущего ответа . Его цель - решить проблему @ Kaveh в комментариях:

Это легко сделать , если мы хотим чисел, но я не вижу , как это сделать , даже с лог - лог п чисел.$\log n$$\log \log n$

У меня была похожая проблема:

Используемое сокращение - сокращение Кука. Кто-то может быть заинтересован в проведении доказательства с использованием редукций Карпа.

(Сокращения Карпа предназначены для решения проблем. Здесь под сокращением Карпа я подразумеваю сокращение Кука одним запросом. Извините за нестандартную терминологию!)

Ответ ниже основан на обсуждениях здесь: /math/54580/factoring-some-integer-in-the-given-interval .

В этом ответе я приведу детерминированное сокращение Карпа за полиномиальное время от факторинга к факторизации суммы двух целых чисел, представленных их факторизациями . Однако есть одна загвоздка: в ходе доказательства я буду использовать следующее теоретико-числовое предположение:

$p_n$$p_{n+1}$$p_{n+1} - p_n = O(\log^2p_n)$

$N$$n=|N|=O(\log N)$$N$$[N - \log^3N, N]$$\log^3N = O(n^3)$

$x$$[N - \log^3N, N]$$y=N-x$

$0 \le y \le \log^3N$$|y| = O(\log \log N) = O(\log n)$$y$

$(x,y)$$N = x+y$