Построение графов, в которых каждая пара вершин имеет единого общего соседа

Позволять $G$ быть простым графиком на $n$ вершины $(n > 3)$ без вершины степени $n − 1$, Предположим, что для любых двух вершин$G$, есть уникальная вершина, смежная с ними обоими. Ван Линт и Уилсон - это курс из курса по комбинаторике , чтобы доказать, что такой граф является регулярным.

Мой вопрос, однако, заключается в том, существуют ли графы, удовлетворяющие данным ограничениям. Обсуждая исходное упражнение во время сеанса решения проблем, кто-то спросил, можем ли мы придумать пример графа, где каждая пара вершин имеет уникального общего соседа, а глобальных вершин нет. Мы также не смогли придумать конкретный пример или процедуру построения, и мы не установили доказательство того, что ни у какого графа нет этих свойств.

Какие-либо предложения?

Примечание: что касается доказательства того, что такой граф является регулярным, то он оказывается довольно простым, грубая идея состоит в том, чтобы спарить соседей каждой пары вершин, используя критерии уникального общего соседа, чтобы установить тот факт, что каждая пара вершины имеют одинаковую степень, и тогда аргумент транзитивности с помощью ограничения no-global-vertex дает нам регулярность графа.

Если вы избавитесь от "нет вершины степени $n-1$«Условие, графы с тем свойством, что каждые две вершины имеют ровно одного общего соседа, являются в точности графами дружбы (набором треугольников, склеенных вместе в общей вершине); как описывает связанная статья, это теорема Эрдеша, Реньи, и Sós. Но, очевидно, все такие графы имеют вершину степени$n-1$; единственный правильный - треугольник. Таким образом, ответ на ваш вопрос заключается в том, что нет, граф с общим свойством соседа и без степени$n-1$ вершина не существует.