Связь между трудностью распознавания класса графов и характеристикой запрещенных подграфов

Я рассматриваю графовые классы, которые можно охарактеризовать запрещенными подграфами.

Если у класса графов есть конечный набор запрещенных подграфов, то существует тривиальный алгоритм распознавания полиномиального времени (можно просто использовать грубую силу). Но бесконечное семейство запрещенных подграфов не подразумевает твердости: есть некоторые классы с бесконечным списком запрещенных подграфов, такие, что распознавание также может быть проверено за полиномиальное время. Хордовые и совершенные графы являются примерами, но в этих случаях в запрещенном семействе есть «хорошая» структура.

Есть ли какая-то известная связь между трудностью признания класса и «плохим поведением» запрещенной семьи? Такое отношение должно существовать? Это "плохое поведение" было оформлено где-то?

Хотя кажется интуитивно понятным, что список запрещенных (индуцированных) подграфов для класса графов, обладающих NP-трудным распознаванием, должен обладать некоторой «внутренней» сложностью, я недавно обнаружил некоторые поразительные отрицательные доказательства этой интуиции в литературе.$\mathscr{C}$

Пожалуй, самое простое для описания это следующее, взятое из статьи Б. Левека, Д. Лин, Ф. Маффрея и Н. Тротиньона .

Пусть - семейство графов, состоящих из цикла длиной не менее четырех, плюс три вершины: две, смежные с одной и той же вершиной u цикла, и одна, смежная с вершиной v цикла, где u и v являются не последовательный в цикле (и никаких других ребер).$F$$u$$v$$u$$v$

Пусть теперь семейство графов , которые составлены точно так же, за исключением того, что вы добавляете четыре вершины: две смежные с одной и той же вершины ˙U цикла (как и раньше), но теперь две смежные с одной и той же вершины V из цикл, где снова u и v не являются последовательными.$F'$$u$$v$$u$$v$

Тогда класс графов с в качестве запрещенных индуцированных подграфов имеет распознавание за полиномиальное время, тогда как распознавание класса с F ' в качестве запрещенных индуцированных подграфов является NP-трудным.$F$$F'$

Поэтому мне трудно представить какое-либо общее условие, которому должен удовлетворять список запрещенных индуцированных подграфов, когда он приводит к классу с (NP-) жестким распознаванием, учитывая, что такое условие должно будет отделять «очень похожие» и F ′ выше.$F$$F'$

Ответ @Hugo действительно хорош, и здесь я хочу добавить некоторые личные мнения.

Есть родственные семейства, подобные графам в семействе F и F '. Графы в семействе B1 в статье обычно называют пирамидами. А графики в семействе B2 обычно называют призмами. Смотрите ответ здесь для иллюстрации. В литературе по проблемам обнаружения индуцированных подграфов они использовались для обнаружения четных / нечетных дырок, которые представляют собой хордовые циклы с четной / нечетной длиной. По известной теореме о сильном совершенном графе граф G идеален, если и G, и дополнение G не содержат нечетных дырок.

Для семейств пирамид и призм фактически есть различия между ними - у одного есть индуцированное поддерево из трех листьев, а у другого нет. Это называется проблемой «три в дереве» , которая изучалась Чудновским и Сеймуром. Удивительно, что определение, существует ли индуцированное дерево, которое содержит три заданных узла, поддается обработке, в то время как проблема «четыре в центре дерева» является NP-трудной . (Центрированное дерево - это дерево с не более чем одним узлом со степенью больше 2.) Различия между F и F ', по-видимому, вызваны одной и той же причиной.

Но кажется, что полная характеризация все еще трудна, потому что мы даже не знаем сложности обнаружения графов в некоторых из семейств, которые выглядят достаточно простыми, как графы без нечетных отверстий (!). А для семейств, о которых мы знаем, что существует алгоритм полиномиального времени, например, совершенные графы и графы без четных отверстий, хотя существуют общие стратегии (основанные на разложениях) для разработки алгоритма, необходимо предоставить конкретную структурную теорему для их. Обычно это семейно-зависимый процесс, и в большинстве случаев доказательства действительно длинные. ( Вот пример для графика без четных отверстий, где бумага занимает более 90 страниц.)

Тем не менее было бы интересно иметь некоторые классификации для индуцированных проблем обнаружения подграфов, в том смысле, как проблема «три в дереве».