Вычислительная сложность задачи с 3 разделами с различными числами

Этот вопрос связан с ответом, который я разместил в ответ на другой вопрос.

Задача с 3 разделами представляет собой следующую проблему:
Экземпляр : положительные целые числа a ₁ ,…, a _n , где n = 3m, а сумма n целых чисел равна mB, так что каждый a _i удовлетворяет B / 4 <a _i <B / 2.
Вопрос : Можно ли разбить целые числа a ₁ ,…, a _n на m мультимножеств, чтобы сумма каждого мультимножества была равна B?

Хорошо известно, что задача с 3 разделами является NP-полной в строгом смысле, что она остается NP-полной, даже если числа на входе даны в унарном виде. См. Гэри и Джонсон для доказательства.

Вопросы : остается ли проблема с 3 разделами NP-полной, если числа a ₁ ,…, a _n все различны? Остаётся ли NP-полная в сильном смысле?

(Мне кажется, что ответы на оба вопроса, вероятно, да, потому что я не вижу причин, по которым проблема должна стать легче, если все числа различны.)

Похоже, что доказательство Гарея и Джонсона не устанавливает NP-полноту этой ограниченной версии.

В ответе на другой вопрос, связанный выше, я дал доказательство того, что задача с 6 разделами (определенная аналогично) с различными числами является NP-полной в сильном смысле.

cc.complexity-theory np-hardness

— Цуёси Ито
источник

Я думаю, что это важная проблема; В литературе я нашел несколько работ, в которых утверждается или предполагается, что заданная версия является сложной, без лучшего объяснения, чем цитата к мультимножественной версии в Garey and Johnson, и которые используют это допущение в требовании NP-полноты для какой-то другой проблемы. ,

— Дэвид Эппштейн

$a_1, \ldots, a_n$ $B/4 < a_i < B/2$

[1]: Хизер Хьюлетт, Тодд Дж. Уилл, Герхард Дж. Вёгингер: Мультиграф реализации последовательностей степеней: максимизация проста, минимизация трудна. Опер. Местожительство Lett. 36 (5): 594-596 (2008). DOI

— Серж Гасперс
источник

Наложение границ

B / 4 < a_{i} < B / 2

$B/4 < a_i < B/2$ это легко сделать, добавив одно и то же большое число ко всем

a_{i}

$a_i$ ,

— Дэвид Эппштейн

Действительно, также просто навязать эти границы.

— Серж Гасперс

Спасибо, он полностью отвечает на мой вопрос. Обратите внимание, что проблема частичного завершения латинского квадрата может быть легко сформулирована как частный случай трехмерного сопоставления. Мне не пришло в голову заменить 3DM на PLSC, но, увидев доказательства, подход кажется вполне естественным.

— Цуёси Ито