Простая (?) Смешная комбинаторная задача!

Пусть мы зафиксируем $0<E<1$ и целое число $t>0$ .

для любого $n$ и для любого вектора $\bar{c} \in [0,1]^n$ такого, что $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

Я не знаю, верно ли это утверждение или ложь. Я думаю, что это правда.

Моя интуиция исходит из наблюдения, что для векторов (с желаемым свойством относительно суммы) мы имеем ; в этом случае мы можем выбрать только подмножество из набора . $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

В другом случае мы можем создать хорошее подмножество (st сумма больше, чем ), используя координаты в но также, возможно, используя несколько координат из набора мы могли бы создать другой хороший набор! $E \times t$ $\{ i ~|~ c_i > E \}$ $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

Итак, докажите это или найдите ошибку! надеясь, что это может быть забавная игра для вас!

Мотивация вопроса :

Предположим, у вас есть случайная величина , типичная мера «сколько случайности» в - это минимальная энтропия $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

В некотором интуитивном смысле мин-энтропия является худшим случаем знаменитой энтропии Шеннона (это средний случай ).

Нам интересно ограничить минимальную энтропию случайной величины где равномерно распределено по множеству . $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

Грубо говоря, если нам повезет, мы можем поймать биты которые имеют «хорошую энтропию», и поэтому мы, если то $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

Какова вероятность того, что нам повезло?

Проблема хорошо изучена, и существует много литературы, например, см. Лемму А.3. в устойчивой к утечкам криптографии с открытым ключом в модели с ограниченным поиском

co.combinatorics it.information-theory

— AntonioFa
источник

Я смущен термином . Поскольку не обязательно является целым числом, как оно определяется?

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— Дэйв Кларк

Какова мотивация?

— Энтони Лабарр

@ Дэйв Кларк, стандартные подходы - определить его в терминах гамма-функции или (учитывая, что является целым числом) как,

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— Питер Тейлор

Биномиальные коэффициенты могут быть обобщены до нецелых аргументов (страница Википедии содержит довольно много деталей). Однако в этом случае это может быть необязательным: обратите внимание, что этого достаточно, чтобы доказать это в экстремальном случае, когда сумма равна (т.е. - их среднее значение).

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— Клаус Дрегер

@Dave: извините за мою неточность, с моей точки зрения вы можете выбрать .

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— AntonioFa

Гипотеза в посте не верна, но более слабая гипотеза (по отношению к полу), упомянутая в комментариях, остается верной. На самом деле что-то сильнее держит.

Лемма 1. Гипотеза в посте не имеет места. То есть есть экземпляр, удовлетворяющий данным предположениям, где

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

Доказательство. Рассмотрим случай с , , и . Тогда . Для левой части мы имеем потому что любое подмножество которое не содержит обеих сумм 1, не превышает 1.7, и есть только два подмножества ( и ), содержащие оба 1. И правая часть - это $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

Более слабая гипотеза, предложенная в комментариях, а именно граница с полом, , имеет место. На самом деле что-то чуть сильнее держит: $\lfloor E\, n \rfloor$

Лемма 2. Зафиксируем , целые числа и вектор с помощью . Тогда $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

Доказательство. Пусть . Предположим, что WLOG . (В противном случае масштабируйте и каждый вниз на единообразный коэффициент, чтобы сделать это так. Это поддерживает и не изменяет ни сумму подмножеств как минимум ни желаемую нижнюю границу числа таких подмножеств.) Предположим, что WLOG (в противном случае утверждение выполняется тривиально). $a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

Рассмотрим любое подмножество размером не менее , где . Поскольку и содержит все, кроме не более элементов (каждый из которых не более 1), мы имеем , по желанию. $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

Количество таких подмножеств равно $S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ (используя ) $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

Но (используя ), поэтому последняя сумма является как минимум желаемой нижней границей для числа хороших подмножеств. $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— Нил Янг
источник