Стоимость выполнения ок. поиск ближайшего соседа в пропущенном квадри

ПРИМЕЧАНИЕ : вопрос был переформулирован в моих ответах: Предполагая теперь, что мы можем найти самых низких предков родного брата за время , может ли ANN действительно выполняться за ?$O(1)$$O(\log n)$

Квадро - эффективные пространственные показатели. У меня есть головоломка с реализацией поиска ближайшего соседа в сжатой структуре дерева квадрантов, как описано в [2]. (Не вдаваясь в детали, поиск идет сверху вниз по так называемым эквидистантным квадратам, заканчивающимся в хвостовом узле эквидистантного пути. На прикрепленном изображении это может быть любой из узлов на юго-востоке, заполненный точками.)

Чтобы их алгоритм работал, необходимо поддерживать для каждого узла - квадрат с как минимум двумя непустыми квадрантами - указатели для каждого самого нижнего (самого близкого в иерархии) узла-предка в каждом из четырех направлений (север, запад, юг). , восток). Они обозначены зелеными стрелками для западного предка узлов (стрелка указывает на центр квадрата предка).

В документе утверждается, что эти указатели могут обновляться в O (1) во время вставки и удаления точек. Однако, глядя на вставку зеленой точки, мне кажется, мне нужно обновить любое произвольное количество указателей, в данном случае шесть из них.

Я надеюсь на хитрость, чтобы сделать это обновление указателя в постоянное время. Может быть, существует форма косвенного обращения, которую можно использовать?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Соответствующий раздел из статьи 6.3, где он гласит: «Если путь имеет изгибы, то в дополнение к самым низким предкам , мы должны также рассмотреть для каждого из направлений самое низкое предок который идет в этом направлении [...] Найти эти квадраты из можно за раз на квадрат, если мы дополнительные указателей с каждым квадратом в указывающем на его ближайших предков для каждого направления . Эти указатели также могут обновляться в раз во время вставки или удаления точки. "$log(c/ε)$$q$$2^d$$q$$q$$O(1)$$2^d$$Q_0$$O(1)$

[2]: Эппштейн Д., Гудрич, М.Т. и Сан, Дж. З. «Квадратное дерево пропуска: простая динамическая структура данных для многомерных данных», в материалах двадцать первого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии, с. 296—305. , 2005.

Как и Дэвид, я не знаю, почему Джонатан добавил это замечание о 2-х указателях. Они не нужны. Как упомянул Дэвид выше, существенным свойством является то, что когда мы делаем точечное местоположение для листа v в Q_0, достаточно вспомнить узлы-братья (и их блоки) в дереве пропуска. Когда мы обрабатываем блок из P, мы делаем точку расположения для листового блока, ближайшего к нашей точке запроса, вставляя родственные блоки по мере того, как мы спускаемся. Похоже, это будет примерно таким же, как ваш ответ. Кроме того, эта процедура очень похожа, например, на то, как приблизительное расположение точек делается в следующей статье: Арья, Сунил и Маунт, Дэвид М. и Нетаньяху, Натан С. и Сильверман, Рут и Ву, Анжела Ю., «Оптимальный алгоритм для приближенного поиска ближайшего соседа с фиксированными размерами», JACM, 1998. Действительно,

Можно подумать о пропуске дерева квадрантов как о реализации списка пропущенных структур данных, хранящих точки в соответствии с их z-порядком. Это (возможно), по крайней мере, концептуально проще ...

Смотрите главу 2 здесь: http://goo.gl/pLiEO .

И да, предполагая, что вы можете выполнять некоторые базовые операции z-порядка за постоянное время, вы определенно можете выполнять ANN за логарифмическое время. Вышеупомянутая глава также показывает, что нет способа избежать причудливых операций, если кто-то хочет сжать квадри. Обратите внимание, что операция LCA не нужна ...

Я также интуитивно чувствую, что можно жить без этих указателей, и, поскольку мне нужно в какой-то момент сохранить все узлы на жестком диске, любые сокращения указателей велики.

Моя идея примерно следующая: кроме точки наилучшего кандидата (листа) , мы также отслеживаем наихудшее расстояние в каждом раунде, . Наихудшее расстояние будет максимальным расстоянием всех углов узла до точки запроса , независимо от того, находится ли внутри квадрата или снаружи.$l_{best}$$r_{max}$${dist}'(v,q)$$q$$v$$v$

Раунд выглядит так: если пусто, вернуть , если он был. В противном случае delete-min дает текущий в . Инициализируйте в (или установите его в если лучший кандидат еще не был замечен). Сначала проверьте каждый непустой дочерний в . Если этот дочерний элемент является листом, обновите и если необходимо. Если является узлом, вычислите и , причем последнее является наилучшим расстоянием: либо ноль, если$P$$l_{best}$$p_0$$Q_0$$r_{max}$$l_{best}$$\infty$$p_0$$Q_0$$q$$l_{best}$$r_{max}$$q$${dist}'(q,v)$${dist}(q,v)$$v$ лежит внутри или кратчайшего расстояния из всех углов до .$q$$q$$v$

Если , забудьте , в противном случае сохраните его. Если число узлов хранятся в , раздвинуть эти узлы на . Конец раунда.${dist}(q,v) > r_{max}$$q$$\geq 2$$P$

В противном случае продолжайте аналогично исходному поиску: найдите , соответствующий узлу в максимально возможном , и начните с него: опять же, вместо того, чтобы просить равноудаленного потомка спуститься, протестируйте всех потомков в соответствии с предыдущей процедурой то есть пропускайте тех, чье наилучшее расстояние превышает . Если после этого теста ребенок остался, сходите к нему и повторите. Если ребенка не осталось, перейдите к и повторите. Если тест был выполнен в , раунд завершен.$q$$p_0$$Q_j$$r_{max}$$Q_{j-1}$$Q_0$

На данный момент я не знаю, гарантирует ли это найти ближайшего соседа в каждом возможном случае, и не работает ли он так же хорошо, как исходный алгоритм. Также, если инициализация достаточна или нет. А какой должен быть приоритет в - все-таки лучшая дистанция?$r_{max}$$P$

РЕДАКТИРОВАТЬ (апрель 2013 г.)

Теперь я провел больше экспериментов с разъяснением вышеприведенного алгоритма, в котором вместо эквистабирующих узлов используется определение «равноправных» узлов, исходя из того, что при переходе к такому узлу не изменяется область, охватываемая текущей формой запроса экстента. .$r_{max}$

К сожалению, можно построить патологические случаи (см. Изображение ниже; точка запроса находится внизу в центре), где производительность снижается до циклов.$O(\sqrt n)$

Теперь я реализовал алгоритм на основе equistabbing, в котором младшие братья и сестры ищутся методом грубой силы (прежде чем пытаться найти вариант O (1)), чтобы проверить максимальное количество раундов, заявленное в теореме 13: .$O(\epsilon^{1−d}(\log n+\log \epsilon^{−1}))$

Я использую «патологический» пример из моего предыдущего ответа. Двумерный корневой квадрат имеет длину стороны 512, где координата центра равна (256, 256). Координаты даны в целых числах, что приводит к прямому . Точки расположены на равном расстоянии по горизонтали через корневой квадрат, а точка запроса находится в точке (256, 511) (обратите внимание, что 512 уже находится за пределами корневого квадрата).$\epsilon = 1$$v$

На рисунке ниже показано полное дерево , и количество точек в этом примере равно 16. синим квадратом обозначают интересные квадраты, которые помещаются в очередь с приоритетами, а цифры в их центре указывают округленное число в которые они толкают. Найденные конечные точки также помечены круглым числом, в котором они учтены. Три прозрачных синих кружка указывают известный радиус NN после 1-го, 2-го и 7-го раунда (ближайший сосед впервые виден в 7-м раунде). Всего 12 раундов (последние 6 только попсовые квадраты из очереди, но не добавляют никаких новых квадратов).$Q_0$

Я запустил этот пример с серией все более крупных корневых квадратов и количеством точек, где расстояние между точками не изменилось (32). Это подтвердило то, что уже интуитивно видно из иллюстрации: алгоритм требует раундов, тогда как теорема 13 с и утверждает, что потребуются только раундов.$O(\sqrt n)$$d = 2$$\epsilon = 1$$O(\log n)$

Поэтому, если я не пропущу что-то важное, алгоритм не сможет достичь заявленной скорости. Есть комментарии или идеи?