Могу ли я ограничить мощность набора, если известно, что тестирование на членство в нем является NP-полным?

Я хотел бы ограничить мощность множества графов единичных дисков с $N$ Вершины. Известно, что проверка того, является ли граф членом этого набора, является NP-сложной задачей. Приводит ли это к какой-либо нижней границе мощности, предполагая, что P $\neq$ NP?

Например, предположим, что есть порядок на всех графах с $N$ Вершины. Если бы NP-твердость означала, что количество элементов превышает $2^N$ иначе вы могли бы проверить на членство за полиномиальное время, выполнив бинарный поиск по множеству? Я думаю, это предполагает, что вы как-то сохранили набор в памяти ... Это разрешено?

Определение: граф является графом единичного диска, если каждая вершина может быть связана с единичным диском на плоскости, так что вершины соединяются всякий раз, когда их диски пересекаются.

Вот ссылка на NP-сложность тестирования членства для графов единичных дисков: http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— Дэвид Чой
источник

Мне интересно, есть ли пример, где этот метод обеспечивает наиболее известную нижнюю границу размера некоторого набора? Это было бы классным косвенным комбинаторным применением теории сложности.

— Сашо Николов

Спасибо Вам за Вашу помощь. Оба ответа были полезны и проницательны; Я бы принял одно из них в отсутствие другого.

— Дэвид Чой

Ответы:

Я не уверен, задаете ли вы этот вопрос для техники или для ответа, но есть недавняя статья Макдиармида и Мюллера, где они показывают количество (помеченных) графиков единичных дисков на $n$ вершины $2^{(2 + o(1))n}$ ; см. http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf .

— Барт Янсен
источник

Теорема Махани утверждает, что разреженные NP-полные множества существуют тогда и только тогда, когда P = NP. Поэтому, предполагая, $P \neq NP$ подразумевает суперполиномиальную нижнюю границу количества экземпляров размера $n$ в $NP$ множества для бесконечно многих $n$ , То есть если $P \neq NP$ тогда любой $NP$ -полный набор должен иметь некоторые $\epsilon \gt 0$ такой, что для бесконечно многих целых $n\ge 0$ набор содержит хотя бы $2^{n^{\epsilon}}$ строки длины $n$ ,

Х. Берман и Дж. М. Хичкок доказали нижнюю границу ( $2^{n^{\epsilon}}$ ), если полиномиальная иерархия не разрушится.

[1] Х. Берман и Дж. М. Хичкок, NP-жесткие множества являются экспоненциально плотными, если только coNP ⊆ NP / poly, на конференции IEEE по вычислительной сложности, стр. 1–7, 2008

[2] Эрик Аллендер, Отчет о состоянии вопроса P против NP, Advances in Computers, том 77, 2009, страницы 117-147.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

[Mah82] SR Mahaney. Редкие полные наборы для NP: Решение гипотезы Бермана и Хартманиса , Journal of Computer and System Sciences 25: 130-143, 1982 г.

— Марцио Де Биаси

Каждый NP-комплект имеет бесконечно большую бесконечность. Вы, вероятно, имели в виду, что P ≠ NP подразумевает суперполиномиальную нижнюю границу для числа экземпляров размера

n

$n$ , для бесконечно многих

n

$n$ , Обратите внимание, что

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$ является супер-полиномом, но не имеет той формы, которую вы даете.

— Андрас Саламон

Спасибо András, ваш комментарий включен в ответ.

— Мухаммед Аль-Туркистани

@ Мохаммед: сделайте нижнюю границу

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$ , или

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$ это то, что означает суперполином.

— Сашо Николов

@Sasho, H. Buhrman и JM Hitchcock доказали нижнюю оценку (

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$ ) Я упомянул в своем ответе, если полиномиальная иерархия не рухнет. Х. Берман и Дж. М. Хичкок, NP-сложные наборы экспоненциально плотны, если только coNP ⊆ NP / poly, на конференции IEEE по вычислительной сложности, стр. 1–7, 2008

— Мохаммед Аль-Туркистани,