Проблема размещения евклидовых емкостей

В капаситированных Facility Местоположение задачи (CFLP) , нам дано множество клиентов и набор потенциальных объектов . У каждого клиента есть спрос который должен обслуживаться одним или несколькими открытыми средствами. Каждый объект имеет стоимость открытия и имеет емкость , что является максимальным требованием , что объект могу служить. Стоимость обслуживания одной единицы спроса клиента в учреждении составляет$C$$F$$j \in C$$d_j$$i \in F$$f_i$$u_i$$i$$j$$i$$c_{ij}$, Мы хотим открыть подмножество объектов и назначить спрос клиентов на открытие объектов таким образом, чтобы были удовлетворены требования всех клиентов, не нарушалось ограничение пропускной способности и сводилась к минимуму общая стоимость открытия объектов и обслуживания клиентов. Стоимость услуг неотрицательна, симметрична и удовлетворяет неравенству треугольника.

Арора в [ 1 , стр. 21] утверждает, что «Арора, Рагхаван и Рао [ 2 ] дают PTAS для геометрического случая. Они распространяют алгоритм на случай с емкостью, но окончательное решение может незначительно нарушать ограничения по емкости». Что он подразумевает под «небольшим количеством»? Я предполагаю, что это означает, что они дают PTAS, который нарушает ограничения емкости в пределах фактора для произвольного . Это правильно?$(1+\epsilon)$$\epsilon > 0$

Когда я посмотрел в [ 2 ], единственным связанным результатом, который я нашел, был алгоритм времени для нахождения -приближенного решения для капаситированные -медиана когда мы имеем единые возможности. Арора ссылается на приведенный выше результат в [ 1 ]?$n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}$$(1+\epsilon)$$k$

[ 1 ] С. Арора. Аппроксимационные схемы для задач NP-сложной геометрической оптимизации: обзор. В математике Программирование, Сер. B, vol. 97, стр. 43-69, 2003.

[ 2 ] С. Арора, П. Рагхаван и С. Рао. Аппроксимационные схемы для евклидовых k-медиан и связанные с ними проблемы. В учеб. 30-й симпозиум ACM по теории вычислений, стр. 106–113, 1998.

Если я правильно запомнил, вам нужно приблизить количество клиентов, подключенных к каждому шлюзу. В противном случае вы бы сразу получили что-то вроде , где - количество гейтов в подзадаче. Путем аппроксимации этого числа до значения течение всего динамического программирования можно получить ошибку в конце. Это дало бы время выполнения, аналогичное тому, которое вы указали выше.$O(n^{O(g)})$$g$$(1+\varepsilon/\log n)$$(1+\varepsilon)$