Умножение n полиномов степени 1

Задача состоит в том, чтобы вычислить многочлен . Предположим, что все коэффициенты вписываются в машинное слово, т. Е. Ими можно манипулировать в единицу времени. $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

Вы можете сделать раз, применяя БПФ в виде дерева. Ты можешь сделать ? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— Михай
источник

Хороший вопрос, кажется, я видел нечто подобное в чьем-то блоге, но не могу вспомнить, где это было.

— Григорий Ярославцев

Незначительное наблюдение: мы знаем (работая над Q, скажем) n корней

, поэтому задача эквивалентна: При заданном

вычислить полином

. (Думаю.)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ШриевацаР

Можете ли вы дать ссылку на результат

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Мухаммед Аль-Туркистани

Как упомянул @Suresh, это простой подход «разделяй и властвуй». Его можно обобщить так, чтобы n полисов могли иметь разные степени

, и в этом случае вы можете делить их по дереву Хаффмана. См. Штрассен: Вычислительная сложность непрерывных дробей.

d_{i}

$d_i$

— Зейю

Можем ли мы вычислить свертку из

векторов постоянной размерности 2 за время

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Каве

Предупреждение: это еще не полный ответ. Если аргументы правдоподобности делают вас неудобными, прекратите читать.

Я рассмотрю вариант, в котором мы хотим умножить (x - a_1) ... (x - a_n) на комплексные числа.

Задача двойственна оценке полинома в n точках. Мы знаем, что это можно сделать умно за O (n log n), когда точки оказываются n-ю корнями единства. Это существенно использует симметрии правильных многоугольников, которые лежат в основе быстрого преобразования Фурье. Это преобразование существует в двух формах, условно называемых «прореживание во времени» и «прореживание по частоте». В основании два они полагаются на двойную пару симметрий четных правильных многоугольников: симметрия взаимосвязи (правильный шестиугольник состоит из двух взаимно соединяющихся равносторонних треугольников) и симметрия разворачивания веера (разрезаем правильный шестиугольник пополам и разворачиваем части как вееры). в равносторонние треугольники).

С этой точки зрения кажется невероятным, что алгоритм O (n log n) будет существовать для произвольного набора из n точек без особых симметрий. Это означало бы, что в правильных многоугольниках нет ничего исключительного в алгоритме по сравнению со случайными наборами точек на комплексной плоскости.

— Пер Вогсен
источник

С другой стороны, нижняя граница

для такой естественной задачи кажется столь же неправдоподобной!

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

— Джефф

Правда! Хотел бы я иметь более точный ответ. Это очень интересно.

— В Вогсен

Награда присуждается!

— Джефф

@PerVognsen: Можете ли вы дать ссылку на эту точку зрения относительно: симметрии полигонов / взаимосвязанной симметрии? Или, если это ваше собственное наблюдение, не могли бы вы расширить его?

— Джошуа Грохов