Перечисление всех пар непересекающихся путей

Учитывая , ориентированный граф , и две вершины . Пара простых путей от до является ребром, если они не разделяют ребро.$G = (V,E)$$s,t \in V$$p_1,p_2$$s$$t$

Используя максимальный поток, легко определить, существует ли пара непересекающихся ребер от до . Теперь, есть ли алгоритм полиномиальной временной задержки для перечисления всех пар ребер непересекающихся путей от до ?$s$$t$$s$$t$

Я считаю, что ответ Артема Казнатчеева правильный, но он не дает полиномиального пространства. Так что вот другой подход, который должен работать немного лучше в этом отношении.

Используя максимальный поток, можно решить чуть более общую проблему: найти пару непересекающихся путей ребер из некоторых двух вершин {s1, s2} к другой паре вершин {t1, t2}, но не контролируя, какая вершина источника соединена к какой вершине назначения.

Предположим, у нас есть граф G и вершины s1, s2, t1, t2, для которых мы хотим перечислить все пары путей. Найдите одну пару путей P1, P2, и пусть e = (s1, v) будет первым ребром на одном из этих путей. Затем мы можем разбить проблемное пространство на две подзадачи: пары путей, которые используют e, совпадают с путями из {v, s2} в {t1, t2} в G-s1, и пары путей, которые не используют e такие же, как пути из {s1, s2} в {t1, t2} в Ge. Выполните повторение в этих двух подзадачах и (чтобы избежать дублирования) сообщайте путь только тогда, когда вы находитесь в нижней части рекурсии.

Это первый раз, когда я читал об алгоритмах полиномиальной задержки, поэтому я не уверен на 100% в своем ответе, но я думаю, что что-то вроде следующего должно работать.

Выберите какое-то соглашение для представления путей с естественным общим упорядочением определенным на нем. (Одним из примеров будет просто перечислить вершины пути и порядок лексикографически). Выберите свою любимую на месте структуру данных D, которая поддерживает логарифмический поиск и вставку (скажем, красно-черное дерево). Пусть G будет вашим графом$<$$D$$G$

Определим алгоритм :$F$

:$F(s,t,G, ^*D)$

(здесь ∗ D означает ссылку на внутреннюю структуру данных D )$^*D$$D$

1. запустите ваш многовременный алгоритм для возврата пары непересекающихся с ребром путей с P < Q от s до t .$(P,Q)$$P < Q$$s$$t$

2. Если не в D .$(P,Q)$$D$

   2.1. Вставьте в D (и выведите, если вы предполагаете вывести при выполнении алгоритма).$(P,Q)$$D$

   $uv \in E(P\cup Q)$$F(s,t,G - \{uv\}, ^*D)$

$D$$s,t \in V(G)$$s < t$$s \neq t$$F(s,t,G,*D)$

$PSPACE$$PSPACE$

$O(m)$