Ограничение записей унитарных операторов действительными числами и универсальными наборами ворот

В Бернштейн и Вазираньте в основополагающей работе «Квантовая теория сложности», они показывают , что - мерное унитарное преобразование может быть эффективно аппроксимировать продукт того , что они называют «рядом с тривиальными севооборотами» и «почти тривиальные фазовыми сдвиги».$d$

«Почти тривиальные вращения» представляют собой одномерные матрицы которые действуют как единое целое во всех измерениях, кроме двух, но действуют как вращение в плоскости, охватываемой этими двумя измерениями (то есть имеет подматрицу 2x2 в форме:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

для некоторых ).$\theta$

«Почти тривиальные фазовые сдвиги» - это одномерные унитарные мерные матрицы, которые действуют как тождество во всех измерениях, кроме 1, но применяют коэффициент для некоторого к этому одному измерению.$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Кроме того, они показывают, что необходим только один угол поворота (как для унитарного поворота, так и для сдвига фазы), учитывая, что угол кратен (BV устанавливает угол .$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

В последующих работах по квантовой теории сложности (например, Adleman et al. Или Fortnow and Rogers) утверждается, что результат BV подразумевает, что универсальные квантовые вычисления могут быть выполнены с помощью унитарных операторов, чьи записи находятся в .$\mathbb{R}$

Как это следует? Я могу понять, что произведение почти тривиальных матриц вращения даст вам унитарную матрицу с действительными элементами, но как насчет матриц фазового сдвига?

То есть: если вы можете выполнять только почти тривиальные повороты и матрицы фазового сдвига, где элементы матрицы равны , можем ли мы эффективно аппроксимировать все другие матрицы фазового сдвига?$0,\pm 1$

Я подозреваю, что это подразумевается не сразу, и правильное доказательство для него будет напоминать доказательство универсальности Тойфоли-подобных ворот Дойча - или я упускаю что-то очень очевидное?

Существует простое доказательство того, что Тофоли и Адамар являются квантовым универсалом Дорита Ааронова, который сначала показывает, как сложные амплитуды могут быть смоделированы реальными амплитудами в большем гильбертовом пространстве с еще одним кубитом.

«Это делается путем добавления одного дополнительного кубита к схеме, состояние которого указывает, находится ли состояние системы в действительной или мнимой части гильбертова пространства, и заменой каждого комплексного вентиля работающего на k кубитах, его реальной версией , обозначенной ˜ U , который работает с теми же k кубитами плюс дополнительный кубит. ˜ U определяется как:$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

~ U | я⟩| 1⟩=-[Iм(U)| я⟩]| 0⟩+$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
"$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

Во-вторых, она доказывает универсальность множества ворот {Адамара, Тоффоли}, которое имеет только реальные амплитуды .$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

В дополнение к статье, на которую указал Мартин, была более ранняя статья Терри Рудольфа и Лов Гровер, показывающая, что двухбитный вентиль универсален для квантовых вычислений (см. Quant-ph / 0210187 ). В воротах есть все реальные входы, и в случае, если вы не знаете, ребиты - это кубиты, где амплитуды ограничены действительными числами. Это может быть источником претензии. Затвор, о котором идет речь, описан в статье и представляет собой управляемое вращение Y.

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$