Охватывает ли диагонализация суть разделения классов?

11

Я не помню, чтобы видел разделение классов, не основанное на диагонализации и результатах релятивизации. Диагонализация все еще может использоваться для разделения оставшихся известных классов, потому что нерелятивизирующие аргументы могут все еще использоваться в заключении диагонализации или в конструкции диагонализированной машины Тьюринга. Вот несколько связанных вопросов:

Существуют ли доказательства разделения классов, не основанные на диагонализации?

И если так

Можем ли мы найти механизм самореференции позади них?

Дальше,

имеет ли каждое разделение классов «каноническое естественное» доказательство (в неформальном смысле)?

Если это так, мы должны попытаться найти нерелятивизирующие аргументы, а не другие схемы доказательства для открытых вопросов.

Можно ли переписать каждое недиагональное доказательство в диагональное?

— Людовик Патей
источник

Я отредактировал вопрос, чтобы его было легче читать. Извиняюсь, если я изменил ваше намерение.

— Андрас Саламон

@ András Спасибо за ваше издание. Мне часто непонятно. Есть одно изменение: я имел в виду, что диагонализация не провалилась, потому что внутри нее мы можем использовать нерелятивизирующие аргументы. Я думаю, что релятивизация и диагонализация ортогональны. И я не считаю, что в доказательствах, которые не используют диагонализацию, использовался бы механизм глубокой самоссылки, но только в том, что при глубоком понимании доказательства мы могли бы обнаружить механизм недосказанной самоссылки ^^. Я пересмотрю эти конкретные пункты.

— Людовик Патей

T C^{0}

$TC^0$

15

Зависит от того, как вы формализуете диагонализацию. У Козена есть статья, в которой показано, что любое разделение классов сложности должно быть доказательством диагонализации.

— Лэнс Фортноу
источник

+1 Я думаю, что я прочитал это в вашем блоге, и я ждал вашего ответа :)

— Мухаммед Аль-Туркистани

5

Поскольку диагонализация релятивизируется, любой результат сложности, подразумевающий противоречивые релятивизации, не может быть основан на диагонализации. Цитирую Арора-Барак :

$O$ $O \subseteq \{0, 1\}^*$

$P$ $NP$ $P\ne NP$

$P^{PH} \subseteq IP$

— М.С. Дусти
источник

2

Обратите внимание, что Бейкер, Гилл и Соловей не сказали, что диагонализация не может работать, но сделали более нюансное утверждение: «Кажется маловероятным, что обычные методы диагонализации являются адекватными».

— Андрас Саламон

@ Садек Я не согласен, что диагонализация релятивизирует. Например, вы можете определить диагональную машину на основе свойства, учитывающего свойство локальности вычислений, которое не является релятивизированным.

— Людовик Патей

Алгебризация - это не техника, а концепция, похожая на релятивизацию. Я полагаю, вы имеете в виду арифметику вместо. И какова связь с естественными доказательствами?

— Кристоффер Арнсфельт Хансен

1

@ Садек: BGS явно допускали более инклюзивное определение диагонализации, чем Арора-Барак, похоже, намеревается. Если теоретик множеств, такой как Роберт Соловей, считает, что могут существовать другие понятия диагонализации, которые не релятивизируются, то, возможно, нам следует оставить эту возможность открытой. На странице 75 заметок A & B не исключена возможность того, что в некоторой диагонализации используется нерелятивизирующий факт о машинах Тьюринга; до сих пор неопубликованная рукопись «Арора-Импальяццо-Вазирани» указывает на то, что существуют довольно тонкие проблемы. cseweb.ucsd.edu/~russell/ias.ps

— Саламон

1

Есть некоторые споры об этом: см., Например, ответ Fortnow на газету AIV: people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/relative.pdf

— Суреш Венкат

5

Чтобы добавить ответ Fortnow, продолжая работу Козена, Нэш, Импальяццо и Реммель формализовали понятие сильной диагонализации и дали некоторые доказательства того, что она не релятивизируется. Чтобы частично ответить на ваш первый вопрос, их результаты показывают, что некоторые доказательства разделения классов не могут основываться на сильной диагонализации. Вот тезисы:

Мы определяем и изучаем сильную диагонализацию и сравниваем ее со слабой диагонализацией, неявной в [7]. Результат Козена в [7] показывает, что практически любое разделение можно преобразовать в слабую диагонализацию. Мы показываем, что существуют классы языков, которые не могут быть разделены сильной диагонализацией, и приводим доказательства того, что сильная диагонализация не релятивизируется. Мы также определяем два вида косвенной диагонализации и изучаем их силу.

Поскольку мы определяем сильную диагонализацию в терминах универсальных языков, мы изучаем их сложность. Мы различаем и сравниваем слабые и строгие универсальные языки. Наконец, мы анализируем некоторые явно более слабые варианты универсальных языков, которые мы называем псевдоуниверсальными языками, и показываем, что в условиях слабого замыкания они легко дают универсальные языки.

1-Nash A., Impagliazzo R., Remmel; J. «Универсальные языки и сила диагонализации». 18-я ежегодная конференция IEEE по вычислительной сложности (CCC'03), с. 337, 2003.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

5

Существуют ли доказательства разделения классов, не основанные на диагонализации?

Да, есть, но не для классов одинаковой сложности. У нас нет аргументов, чтобы исключить такие доказательства, но до сих пор все разделения между классами одинаковой сложности, кажется, используют диагонализацию в некотором месте.

Можем ли мы найти механизм самореференции позади них?

Я не думаю, что разделения классов неоднородной сложности можно превратить в аргументы «самоссылки», потому что они не являются единообразными классами и не могут быть перечислены, а для аргумента самоссылки нам нужно перечислить членов класса.

имеет ли каждое разделение классов «каноническое естественное» доказательство (в неформальном смысле)?

Зависит от того, что вы подразумеваете под «каноническим». AFAIK, нет единого мнения относительно ответов на вопрос «когда два доказательства идентичны по существу?».

Если это так, мы должны попытаться найти нерелятивизирующие аргументы, а не другие схемы доказательства для открытых вопросов. Можно ли переписать каждое недиагональное доказательство в диагональное?

Как уже отмечали другие, ответ зависит от того, что вы подразумеваете под диагонализацией. В более общем смысле (статья Козена, связанная Лансом), ответ «да» для любых двух разных «классов сложности» (как определено в статье Козена). Вы можете превратить аргумент в аргумент «диагонализация». Но:

это не относится к классам сложности, которые не удовлетворяют требованиям, изложенным в статье Козена (т. е. не являются «классами сложности» Козена).
$P$ $PSpace$
важно то, что чем более общий метод, тем более ограничены его приложения (если он используется сам по себе), потому что метод должен работать в большем количестве случаев, и это ограничение метода, мы не можем использовать конкретные информация, которую мы имеем о проблеме, если она не передается или не может быть заменена чем-то похожим для других проблем, которые мы хотим применить к ним методом.
Мы можем превратить аргументы разделения в аргументы «диагонализации» (учитывая ограничение, которое я упомянул выше), но сам факт того, что «функция диагонализации действительно разделяет классы» сам нуждается в доказательстве. В статье Козена показано, что существует функция диагонализации, если классы разные, но как мы можем знать, что данная функция действительно диагонализирует? Нам нужно доказательство! И статья (AFAIU) не дает нам никакого представления о том, как придумать эти доказательства. Если у нас есть аргумент разделения, мы можем превратить его в доказательство диагонализации, но это только послеимея доказательство. Оригинальное доказательство будет служить частью нового доказательства диагонализации, оно покажет, что функция действительно диагонализирует. (И в некотором смысле доказательство диагонализации, построенное из статьи Козена, не будет «каноническим», поскольку оно будет полностью зависеть от исходного аргумента.)

— Кава
источник

Я должен быть более осторожным в отношении вашего второго вопроса (Можем ли мы найти механизм самореференции за ними?) И неоднородности. Я думаю, что вы должны быть более конкретными о том, что вы подразумеваете под «механизмом самоссылки». Слово «самоотдача» является одним из тех слов, которое часто используется неправильно (особенно в философских работах), поэтому мы должны быть осторожны. Обычный механизм самоссылки (в смысле Гёделя, см. Также книгу Р. Смулляна «Диагонализация и самоссылка», 1994) требует перечисления объектов (здесь ТМ) меньшего класса в языке. Но есть и другие, которые также используют

— Каве

используйте слово «самоссылка». Яйцо Малмулей использует его в неоднородной обстановке своего GCT в том, что он называет «парадоксом самоссылки». Но мне трудно понять, что вы имеете в виду, когда используете «механизм самореференции».

— Каве