Основания Гребнера в TCS?

Кто-нибудь знает интересные применения основ Гребнера в теоретической информатике?

Базисы Грёбнера используются для решения многовариантных полиномиальных уравнений, NP-трудная задача в целом. Мне было интересно, использовались ли некоторые поддающиеся рассмотрению особые случаи для обеспечения эффективных алгоритмов / конструкций / доказательств в областях TCS или связанных с TCS (комбинаторика, теория кодирования).

Базисные вычисления Грёбнера, хотя EXPSPACE-полные в общем случае, находятся в PSPACE над булевыми кольцами. Это имеет приложения в проверке моделей для замены BDD: Quoc-Nam Tran, «Алгоритм PSPACE для вычисления базисов Гребнера в булевых кольцах», Proc. WASET, Vol. 35 ноября 2008 г., ISSN 2070-3740.

[ПРИМЕЧАНИЕ] Результат, утверждающий, что вычисление базиса Гребнера в PSPACE над булевыми кольцами кажется неверным, см. Mark van Hoeij, Базис Гребнера в булевых кольцах не является P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[ПРИМЕЧАНИЕ] Утверждение о том, что результат, указывающий, что базисный расчет Гребнера находится в PSPACE над булевыми кольцами, кажется неверным, неверно. Автор путает PSPACE-вычислимость с наличием полиномиального размера. Функция PSPACE может иметь экспоненциально длинный вывод.

Есть интересный том Springer о применении базисов Гребнера в кодировании и криптографии:

• Основы Грёбнера, кодирование и криптография / Sala, M .; Мора, Т .; Perret, L .; Sakata, S .; Traverso, C. (Eds.).

Лично я занимаюсь исследованиями алгоритмов вычисления идеалов полиномов локатора ошибок (довольно известная концепция в теории кодирования, особенно синдром декодирования). В случае кодов из алгебраической геометрии локаторы ошибок идеалом обычно является идеал многочлена от нескольких переменных - это место, где базы Грёбнера играют центральную роль. В упомянутом выше томе наиболее интересной частью для меня является описание BMS-алгоритма С. Сакаты и обзор его приложений для декодирования кодов алгебраической геометрии.

Только что услышал во время семинара 8F

Оригинальное доказательство того, что сетевое кодирование может быть реализовано в потоковой сети, использует базы Грёбнера.

Основы Грёбнера были применены к проблемам удовлетворения ограничений (см. Этот грант ). На этом этапе основанные на Грёбнере методы, по-видимому, не являются полезными для приложений удовлетворения ограничений, поскольку они конкурируют со зрелой эвристикой поиска, методами обеспечения согласованности и эффективными пропагандистами специального назначения - не говоря уже о хороших решениях SAT общего назначения. Тем не менее, я думаю, что есть определенно теоретические применения, ожидающие открытия, особенно когда базис Грёбнера имеет разумный размер. См. Также документ Джефферсона, Дживонса, Грина и ван Донгена , представленный на MACIS 2007 (версия журнала: AMAI 67 359–382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), в котором рассматриваются некоторые из проблем ,

Я использовал базу Грёбнера, чтобы помочь найти краткое доказательство новой теоремы о дихотомии для задач #CSP над 3-регулярными графами с одной двоичной функцией ограничения, имеющей комплексные веса ( версия arXiv ).

$f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

Базис Грёбнера используется для преобразования исходных четырех переменных, необходимых для определения двоичной функции, в шесть «симметризованных переменных», которые инвариантны в каждом классе эквивалентности (см. Раздел D статьи, связанной выше). Тем не менее, базис Гребнера не упоминается в статье, поскольку его единственной целью было автоматическое преобразование из исходных четырех переменных в шесть симметризованных переменных в различных полиномах (которое было предварительно создано GroebnerBasis Mathematica ).

Следующая статья может рассматриваться как одно из приложений.

• Гуннар Карлссон, Гурджит Сингх, Афра Зомородян: Вычисление многомерного упорства. Журнал вычислительной геометрии, 1 (1) 2010, стр. 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Я вижу, что авторы используют алгоритм Бухбергера в качестве подпрограммы и используют структуру своей задачи, чтобы доказать, что время выполнения полиномиально ограничено.

Грант Пассмор и другие пишут о них в контексте решения SMT. Я не являюсь экспертом в основах Гребнера или в SMT-решениях, поэтому мне сложно оценить, насколько хорошо эта ссылка отвечает на ваш вопрос.

В доказательственной сложности использование баз Грёбнера было предложено Клеггом, Эдмондсом, Импальяццо для опровержения CNF. Существуют случаи, когда эта система доказательств превосходит разрешение по экспоненте, но мне не кажется, что в общих случаях наблюдается реальное улучшение производительности.

$GF(2)$

Тем не менее, Полиномиальное Исчисление не было изучено так же, как Разрешение, поэтому хорошо проверенные эвристики недоступны.

Смотрите также это для применения в cryptanalysyis (я не очень много знаю об этом).

$k$$k$

Базы Гробнера используются для самых быстрых алгоритмов декодирования списка для кодов Рида-Соломона: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Основы Грёбнера успешно используются для решения важных задач в геометрии множественного обзора в компьютерном зрении .

После http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf иногда базис Гробнера используется для определения изоморфизма (когда графы кодируются системами уравнений). Но это объединяет использование основы Гробнера в опровержении CNFS.