Примеры, когда понимание геометрии было полезно для решения чего-то совершенно негеометрического

Одна из приятных сторон эволюции во вселенной с тремя пространственными измерениями заключается в том, что мы развили навыки решения проблем, относящихся к объектам в космосе. Таким образом, например, мы можем думать о триплете чисел как о точке в 3-м и, следовательно, вычисление о триплетах чисел как о вычислении о точках в 3-м, что затем может быть решено с помощью нашей интуиции о пространстве. Кажется, это говорит о том, что время от времени можно было бы решить полностью негеометрическую задачу, используя методы из геометрии. Кто-нибудь знает такие примеры?

Конечно, термины «геометрический» и «негеометрический» здесь немного расплывчаты. Можно утверждать, что любая геометрическая задача на самом деле негеометрическая, если заменить все точки их координатами. Но интуитивно, определение ясно. Давайте просто скажем, что мы называем что-то геометрическим, если рассмотрим отправку статьи об этом в SoCG.

Еще несколько примеров:

Sleator, Thurston и Tarjan использовали геометрическое представление деревьев как разбиений многоугольников и гиперболическую геометрию, чтобы доказать нижние оценки для вращения бинарного дерева . (Также я считаю, что история динамического бинарного дерева поиска может быть представлена ​​как тетраэдризация.)

Сокращение наименьшего общего предка до диапазона минимальных запросов , по мнению Беркмана и Вишкина, связывает проблему структур данных на деревьях с, возможно, геометрической задачей. (и спасибо за статью, Дэвид)

Может быть подходящим сокращение задачи планирования до независимого от максимального веса набора прямоугольных с осью параллелей [1] или сокращение другой задачи планирования до покрытия геометрического набора [2].

Сведение самой большой общей проблемы подпоследовательности к нахождению слоев максимумов хорошо известно (имеется в виду, что мне лень искать, кто на самом деле думал об этом).

[1] (Лиана Левин-Эйтан, Джозеф Сефи Наор и Ариэль Орда)

[2] Нихил Бансал, Кирк Прухс. Геометрия планирования, FOCS 2010.

[позднее редактирование] Еще пара случаев, когда «геометрический» вид казался удивительным (хотя стандарты «подчинение SoCG» или «что-то визуализировать», вероятно, не соблюдаются):

алгебраическая топология применяется к нижним оценкам для распределенных вычислений

включение вычислимости в измерение Хаусдорфа

определение понятия расстояния для групп, затем объема, затем роста объема как функции расстояния, затем с использованием «полиномиального роста»

Конечно, гораздо лучшим ответом, чем мой предыдущий, является использование теории вложения метрик для решения разреженного разреза. Ключевым шагом в решении проблемы разреженного разреза было осознание того, что ее можно аппроксимировать, найдя хорошее вложение общей метрики в -нормированное пространство$\ell_1$ .

Они упоминались и где-то еще, но мне нравится пример: сортировка с частичной информацией - это проблема нахождения фиксированного неизвестного линейного расширения набора, заданного набора и использования числа запросов сравнения, максимально приближенных к теоретической информации нижняя граница (это просто сортировка, когда количество сравнений является показателем критической сложности, а некоторые сравнения даются бесплатно). Существование оптимальных (с точностью до константы) стратегий сравнения было доказано Саксом и Каном с использованием свойств многогранника порядка, особого многогранника, связанного с множеством (вы можете найти отличную экспозицию в книге Лекций Матусека по дискретной геометрии). Первый алгоритм за полиномиальное время (Кан и Ким), который вычисляет оптимальную (с точностью до константы) стратегию сравнения, снова использовал свойства многогранника порядка, а также многогранник стабильного множества графа несопоставимости входного множества.

Существует сравнительно недавняя статья Демейна и др., В которой используется геометрическое представление бинарных деревьев поиска, чтобы продвинуть современное состояние динамической оптимальности. Я здесь немного расплывчат, потому что они не решают гипотезу DO: но они действительно укрепляют некоторые границы и дают некоторые новые идеи, которые, кажется, приходят из геометрической формулировки.

Я не думаю, что есть какие-либо примеры таких вещей. За исключением линейного программирования, полуопределенного программирования, комплексных чисел, больших долей машинного обучения и т. Д. Настоящий вопрос - http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso .

В прошлом году на POPL была опубликована прекрасная статья EigenCFA: ускорение анализа потоков с помощью графических процессоров , которые представляли лямбда-термины в виде матриц, а затем использовали графические процессоры для быстрого выполнения анализа потоков данных на них.

В статье это явно не указано, но в основном они использовали категориальную структуру векторных пространств для представления деревьев. То есть в обычной теории множеств дерево (некоторой фиксированной высоты) является вложенным непересекающимся объединением декартовых произведений.

Тем не менее, векторные пространства также имеют прямые произведения и суммы, поэтому вы также можете представить дерево как элемент подходящего векторного пространства. Более того, прямые произведения и прямые суммы совпадают для векторных пространств, т. Е. Имеют одинаковое представление. Это открывает двери для параллельных реализаций: поскольку физические представления одинаковы, можно избежать большого количества ветвлений и погони за указателями.

Это также объясняет, почему анализ потока данных является кубическим временем: это вычисление собственных векторов!

В сети маршрутизаторы используют TCAM (троичные памяти с адресным содержимым - другими словами, адресную память с битом без разницы) для классификации трафика. Записи в TCAM часто являются многомерными правилами сопоставления префиксов: например, (101 *, 11 *, 0 *) соответствует любому пакету, где первое поле заголовка начинается с 101, а второе поле заголовка начинается с 11 (и т. Д.). Если пакет не соответствует первому правилу, он переходит ко второму и т. д., пока не будет найдено соответствующее правило.

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

Для сетевых людей эта интерпретация полезна для понимания того, что делает определенный набор правил. Для теоретиков есть и другие интересные применения. Согласно Алгоритмам классификации пакетов Гупты и Мак-Кауна, геометрическая интерпретация позволила нам быстро установить нижнюю и верхнюю границы для задачи классификации пакетов. Я знаю, что работа по минимизации правил TCAM (поиск наименьшего числа правил, сохраняющих семантику) также выиграла от геометрического подхода. Есть множество ссылок, которые я мог бы дать для этого, но наиболее полезным для вас может быть документ SEDA 2007 от Applegate и др. Сжатие прямолинейных изображений и минимизация списков контроля доступа., Они доказывают, что минимизировать более общий вариант приведенных выше правил сопоставления префиксов является NP-трудным, и соединяют его (снова) с красивыми изображениями прямоугольников, чтобы решить проблему!

Я удивлен, что никто не сказал Евклидов алгоритм для нахождения наибольшего общего множителя между двумя числами. Вы можете справиться с проблемой, нарисовав прямоугольник axb, затем разделите прямоугольник на квадрат, созданный наименьшей стороной, повторите для оставшегося прямоугольника, продолжайте повторять для оставшихся прямоугольников, пока не найдете квадрат, который может равномерно разделить оставшийся прямоугольник (см. анимированный GIF на странице Евклидового алгоритма).

Довольно элегантный способ выяснить, как это работает, ИМО.

Вероятно, есть слишком много примеров, чтобы перечислить их, но один классический пример (он выделен Эйгнером и Циглером как « Доказательство из Книги ») - это использование Ловошем геометрического представления для решения проблемы емкости Шеннона. Хотя доказательство было опубликовано в 1979 году и решило открытый вопрос с 1956 года, оно остается современным.

Связь кодов исправления ошибок с решетками, упаковкой сфер и т. Д. (Например, книга Конвея и Слоана). Однако связь настолько сильна, что не совсем понятно, стоит ли после этого называть коды исправления ошибок «совершенно не геометрическими» ...

Методы сокращения решетки, такие как LLL или PSLQ , являются высоко геометрическими и решают проблемы теории чистых чисел, такие как линейное диофантово приближение и обнаружение целочисленных отношений.

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Джерарду Солтону пришла в голову идея использовать косинус угла между векторами (косинусное сходство) для информационно-поисковых систем. Это использовалось для вычисления термина частота-обратная частота документа. Я считаю это предшественником современных поисковых систем. Смотрите также Модель векторного пространства.

$k$$k$

Конечно, доказательство является более топологическим, чем геометрическим, но в низком измерении оно имеет четкую геометрическую картину. Насколько мне известно, не существует чисто комбинаторного доказательства (т.е. доказательства, которое вы можете объяснить человеку, который отказывается что-либо слышать о топологии).

Роль кривых заполнения пространства в базах данных и оптимизации: http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

Машина опорных векторов в машинном обучении, вероятно, квалифицируется.

Существуют методы вычислительной геометрии для решения линейного программирования. Вычислительная геометрия: у алгоритмов и приложений есть хорошая и простая глава об этом.

Определенный интеграл от функции может быть представлен в виде подписанной площади области , ограниченной ее графиком.