Квантовое обучение PAC

Фон

Функции в могут быть изучены PAC в квазиполиномиальном времени с помощью классического алгоритма, который требует случайно выбранных запросов, чтобы изучить схему глубины d [1]. Если нет факторинг-алгоритма , то это оптимально [2]. Конечно, на квантовом компьютере мы знаем, как учитывать, поэтому эта нижняя граница не помогает. Кроме того, оптимальный классический алгоритм использует спектр функции Фурье, крича "квантовать меня!" O ( 2 l o g ( n ) O ( d ) ) 2 n o ( 1 $AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] Н. Линиаль, Ю. Мансур и Н. Нисан. [1993] «Контуры с постоянной глубиной, преобразование Фурье и обучаемость», журнал ACM 40 (3): 607-620.

[2] М. Харитонов. [1993] "Криптографическая стойкость обучения, специфичного для распределения", Слушания ACM STOC'93, с. 372-381.

Фактически, 6 лет назад Скотт Ааронсон назвал обучаемость одним из своих Десяти Полуградовых Задач для Квантовой Вычислительной Теории .$AC^0$

Вопрос

Мой вопрос в три раза:

1) Существуют ли примеры семейств естественных функций, которые квантовые компьютеры могут изучать быстрее, чем классические компьютеры с учетом криптографических предположений?

2) Был ли какой-либо прогресс в изучении в частности? (или немного более амбициозный ) T C $AC^0$$TC^0$

3) Что касается обучаемости , Ааронсон комментирует: «тогда квантовые компьютеры будут иметь огромное преимущество перед классическими компьютерами в изучении весов, близких к оптимальным для нейронных сетей». Может кто-нибудь дать ссылку на то, как соотносится обновление веса для нейронных сетей и цепей ? ( за исключение того факта , что порог ворот выглядит как сигмовидные нейроны)$TC^0$$TC^0$ (Этот вопрос был задан и ответил уже )

Я сделаю снимок на ваш первый вопрос:

Существуют ли примеры семейств естественных функций, которые квантовые компьютеры могут изучать быстрее, чем классические компьютеры с учетом криптографических предположений?

Ну, это зависит от точной модели и минимизируемого ресурса. Один из вариантов - сравнить сложность выборки (для независимого от распределения обучения PAC) стандартной классической модели с квантовой моделью, в которой заданы квантовые выборки (т. Е. Вместо случайного ввода и соответствующего значения функции представлен алгоритм с квантовой суперпозицией по входам и значениям их функций). В этой ситуации квантовое обучение PAC и классическое обучение PAC в основном эквивалентны. Классическая верхняя граница сложности образца и квантовая нижняя граница сложности образца практически совпадают, как показано на следующей последовательности работ:

[1] Р. Серведио и С. Гортлер, «Эквивалентности и разделения между квантовой и классической обучаемостью», SIAM Journal of Computing, vol. 02138, стр. 1–26, 2004.

[2] А. Атиси и Р. Серведио, «Улучшенные оценки квантовых алгоритмов обучения», Квантовая обработка информации, стр. 1–18, 2005.

[3] К. Чжан, «Улучшенная нижняя оценка сложности запросов для квантового обучения PAC», Information Processing Letters, vol. 111, нет. 1, с. 40–45, декабрь 2010 г.

$O(n^{\log n})$

[4] Н. Бшути и Дж. Джексон, «Изучение DNF по равномерному распределению с использованием квантового примера оракула», SIAM Journal of Computing, vol. 28, нет. 3, с. 1136–1153, 1998.

[5] Дж. Джексон, К. Тамон и Т. Ямаками, «Возвращение к изучению квантовой ДНФ», «Компьютеры и комбинаторика», стр. 595–604, 2002.

[6] A. Atıcı и R. Servedio, «Квантовые алгоритмы для обучения и тестирования Juntas», Quantum Information Processing, vol. 6, нет 5, с. 323–348, сентябрь 2007 г.

С другой стороны, если вас интересует только стандартная классическая модель PAC, использующая квантовые вычисления в качестве инструмента постобработки (т.е. без квантовых выборок), то Servedio и Gortler [1] заметили, что существует концептуальный класс из-за Кернсу и Валианту, которые не могут быть классически изучены PAC, принимая сложность факторизации целых чисел Блюма, но могут быть количественно изучены PAC с использованием алгоритма Шора

Ситуация для модели точного обучения Angluin через запросы членства несколько похожа. Квантовые запросы могут дать только полиномиальное ускорение с точки зрения сложности запросов. Однако, существует экспоненциальное ускорение во временной сложности, предполагающее существование односторонних функций [1].

Я не имею понятия о втором вопросе. Я был бы рад услышать больше об этом тоже.

Это, конечно, не полный ответ на ваш вопрос, но, надеюсь, поможет с первой частью. Похоже, интерес к использованию квантовых алгоритмов для идентификации неизвестных оракулов достаточно велик. Одним из примеров этого является недавняя работа Флоэсса, Андерссона и Хиллери ( arXiv: 1006.1423 ), в которой алгоритм Бернштейна-Вазирани адаптируется для идентификации булевых функций, которые зависят только от небольшого подмножества входных переменных (juntas). Они используют этот подход для определения функции оракула для полиномов низкой степени (они явно имеют дело с линейным, квадратичным и кубическим случаями).