Удивительные алгоритмы подсчета проблем

54

Существуют некоторые проблемы подсчета, которые включают экспоненциальный подсчет многих вещей (относительно размера входных данных), и в то же время имеют удивительные точные, детерминированные алгоритмы за полиномиальное время. Примеры включают в себя:

Подсчет идеальных совпадений в плоском графе ( алгоритм FKT ), который является основой для работы голографических алгоритмов .
Подсчет остовных деревьев в графе (по теореме Кирхгофа о матричном дереве ).

Ключевым шагом в обоих этих примерах является сведение проблемы подсчета к вычислению определителя определенной матрицы. Определитель сам по себе, конечно, является суммой экспоненциально многих вещей, но может удивительным образом вычисляться за полиномиальное время.

Мой вопрос: существуют ли какие-либо «удивительно эффективные» точные и детерминированные алгоритмы, известные для подсчета проблем, которые не сводятся к вычислению определителя?

cc.complexity-theory counting-complexity big-picture

— Эшли Монтанаро
источник

8

Кстати, еще много проблем со счетом сводятся к вычислению детерминанта. Целочисленный определитель завершен для класса GapL, который содержит #L.

— 5501

11

Я не знаю, сводятся ли следующие проблемы к вычислению детерминанта или нет, но я все равно перечислю:

$v_0$ $v_f$ $v_f$ $v_0$

2) Подсчет числа решений задач, определяемых в MSO-логике в структурах ограниченной ширины дерева. Посмотрите, например, статью, посвященную работам Курселя, Арнборга и других .

$f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $x$ $f(x)=1$ $U_f$ $|x\rangle|0\rangle$ $|x\rangle|f(x)\rangle$ $|1\rangle$ $U_fH^{\otimes n}|0\rangle|0\rangle$

— Матеус де Оливейра Оливейра
источник

Спасибо - пункты (2) и (3) интересны, но почему-то не совсем то, что я искал; проблемы подсчета с ограниченной шириной дерева больше походят на особые случаи, когда структура, с которой вы работаете, фактически ограничена полиномиально. Меня больше интересовали случаи, когда «реально» экспоненциально много объектов для подсчета, но их можно каким-то волшебным образом подсчитать за полиномиальное время.

— Эшли Монтанаро

Не означает ли это, что если вы используете унарную кодировку, алгоритму нужно экспоненциальное время, чтобы просто записать число? Возможно ли, что эта проблема будет преодолена с помощью бинарного кодирования, но это звучит для меня непреложно.

— Антонио Валерио Мицели-Бароне

2

@ Miceli-Barone, То, что вы говорите, будет относиться практически ко всем алгоритмам поли времени, которые выводят число. Сам детерминант был бы довольно большим в худшем случае в унарном.

— Рафаэль

\frac{(n + 1)^{\frac{n + 1}{2}}}{2^{n}}

$\frac{(n + 1)^{\frac{n+1}{2}}}{2^n}$

11

Подсчет количества точек решетки в рациональном многограннике (когда размерность постоянна) за полиномиальное время , по мнению Александра Барвинок.

— Ёсио Окамото
источник

2

какая основная техника?

— Суреш Венкат

2

Короткая производящая функция. Следующая пояснительная статья даст нам больше идей. arxiv.org/abs/math/0506466

— Ёсио Окамото

11

В рамках Холанта, есть несколько случаев, которые можно трактовать (по нетривиальным) причинам, кроме как через спичечные ворота в плоских графах.

1) Ворота Фибоначчи

2) Любой набор аффинных подписей .

3) неотрицательные взвешенные #CSP

...назвать несколько.

Кроме того, теорема BEST дает алгоритм полиномиального времени для подсчета числа эйлеровых цепей в ориентированном графе, хотя часть алгоритма действительно использует вычисление определителя.

— Тайсон Уильямс
источник