Уменьшение размерности с провисанием?

11

Лемма Джонсона-Линденштрауса грубо говорит о том, что для любого набора из точек в существует карта где такой, что для всех : Известно, что подобные выражения невозможны для метрики , но известно, есть ли способ обойти такое низкое значение границы, предлагая более слабые гарантии? Например, может ли быть версия вышеуказанной леммы для $S$ $n$ $\mathbb{R}^d$ $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$

(1 - ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2} \leq | | x - y | |_{2} \leq (1 + ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{1}

$\ell_1$ метрика, которая только обещает сохранить расстояния большинства точек, но может оставить некоторые произвольно искаженными? Тот, который не дает мультипликативной гарантии для точек, которые «слишком близки»?

— Аарон Рот
источник

9

Стандартная ссылка на такой положительный результат - статья Петра Индика об устойчивых распределениях:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

Он показывает метод уменьшения размерности для где расстояние между любой парой точек не увеличивается (более чем в ) с постоянной вероятностью, а расстояния не уменьшаются (более чем в ) при высокой вероятность. Размерность вложения будет экспоненциальной в . $\ell_1$ $1+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1/\epsilon$

Вероятно, есть последующие работы, о которых я не знаю.

— Moritz
источник

8

См. Статью « Метрические вложения с расслабленными гарантиями », результаты которой (в условиях «изящно деградирующего искажения») и общим вложениям . $\ell_1$ $\ell_p$

Также обратите внимание на практические процедуры для уменьшения измерения в бумаге. $\ell_1$

— spinxl39
источник

7

Недавно Ньюман и Рабинович показали, что для n точек в происходит уменьшение размерности до размерности . Используя теорему Абрахама и соавт. (Метрическое вложение с ослабленными гарантиями, упомянутое выше) можно получить уменьшение размера в размерности которое работает для дроби пар. $\ell_1$ $O(n/\epsilon)$ $O(1/(\delta\epsilon))$ $1-\delta$

— Яир
источник

4

$\ell_1$ $S$ $c$ $\mathbb{R}^d$ $k$ $c$ $c$ $V$ $\ell_1^d$ $L_1$ $f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$ $(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ $f$ $S$

Совсем недавно Вудрафф и Солер доказали результат, аналогичный результату Талагранда, но с добавленной особенностью, что , как и в JLT, является линейным отображением, выбранным из распределения, независимого от : вам нужно выбрать матрицу где каждая запись является случайной величиной Коида iid. Это в духе стабильных проекций Индика: Коши 1-устойчив. $f$ $S$ $k \times d$

— Сашо Николов
источник