Максимизация суммарных весов ребер

Мне интересно, есть ли у следующей проблемы имя или какие-либо результаты, связанные с ним.

Пусть - взвешенный граф, где обозначает вес ребра между и , и для всех , . Задача состоит в том, чтобы найти подмножество вершин, которое максимизирует сумму весов смежных с ними ребер: Обратите внимание, что я подсчитываю ребра как внутри подмножества, так и вне его, что отличает эту проблему от max-cut. Однако, даже если и и находятся в , я хочу только посчитать ребро $G = (V,w)$ $w(u,v)$ $u$ $v$ $u,v \in V$ $w(u,v) \in [-1,1]$

max_{S \subseteq V} \sum_{(u, v) : u \in S or v \in S} w (u, v)

$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$

u

$u$

v

$v$

S

$S$

(u, v)

$(u,v)$ один раз (а не дважды), что отличает цель от простой суммы степеней.

Обратите внимание, что проблема тривиальна, если все веса ребер неотрицательны - просто возьмите весь граф!

— Аарон Рот
источник

Ваше определение не совпадает с вашим примечанием о том, что не учитываются повторяющиеся ребра. Вы суммируете упорядоченные пары или 2-элементные подмножества? (последний даст вам имущество, которое вам нужно, я думаю)

— Суреш Венкат

Еще одно примечание: НЕ учитываются только веса ребер внутри V \ S. Вас интересуют результаты твердости или приближения, потому что в первом случае минимизация суммы весов ребер внутри S '= V \ S может быть более естественной проблемой? ,

— Суреш Венкат

@Suresh: Формальное определение в вопросе является правильным, если речь идет об аппроксимации. Это просто дает вдвое больше того, что можно ожидать от слов.

— Цуёси Ито

@ TsuyoshiIto: о, я вижу, потому что края по разрезу также учитываются дважды.

— Суреш Венкат

Точная проблема NP-трудна, потому что, как писал Суреш в своем комментарии, проблема эквивалентна неограниченному {0,1} квадратичному программированию, которое является NP-сложным.

— Цуёси Ито

Ответы:

Не совсем решение, но некоторые наблюдения.

Это частный случай следующей задачи: заданный юниверс и набор множеств и весовая функция , найдите множество такое, что максимизируется (вес набора - это общий вес его элементов). Ваша проблема соответствует случаю, когда каждый элемент появляется ровно в двух наборах (но я не уверен, как использовать это ограничение, хотя это может помочь). $U = \{1, \ldots, m\}$ $S_1, \ldots, S_n \subseteq U$ $w:U \rightarrow [-1, 1]$ $I \subseteq [n]$ $w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$ $U$

Это проблема покрытия: аналогично Max-k-Set-Cover, но без ограничения на использование наборов и с разрешенными отрицательными весами. Жадная аппроксимация Max-k-Set-Cover (на каждом шаге выводить набор, который имеет наибольший вес из непокрытых элементов на данный момент) выводит последовательность наборов, так что первые наборов являются приближением к оптимальный (так что это одновременное приближение для всех ). К сожалению, как обычно, существует проблема с анализом, когда веса могут быть отрицательными. Основное наблюдение за анализом жадного алгоритма состоит в том, что если является первым выходным набором, то ( $k$ $k$ $1 + 1/e$ $k$ $S_1$ $w(S_1) \geq OPT_k/k$ $OPT_k$ является максимальным весом, охватываемым наборами), поскольку меньше суммы весов множеств в оптимальном решении, и каждый из них имеет вес, меньший чем . Однако с отрицательными весами больше не верно, что меньше, чем сумма весов в оптимальном решении. В общем, объединение больше не верно. $k$ $OPT_k$ $k$ $w(S_1)$ $OPT_k$

— Сашо Николов
источник

Кстати, вашу проблему трудно аппроксимировать с мультипликативным коэффициентом для любого . $n^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

Мы покажем это ниже, приведя сохранение, сохраняющее приближение, из Независимого множества, для которого известна твердость приближения.

Сокращение от независимого набора

Пусть неориентированный граф будет экземпляром независимого множества. Пусть обозначит степень вершины в . Пусть -число вершин в . $G=(V,E)$ $d_v$ $v$ $G$ $n$ $G$

Построить гранично-взвешенный граф из следующим образом. Задайте каждое ребро в весе 1. Для каждой неизолированной вершины добавьте новые ребра , каждый с весом , в новые вершины . Для каждой изолированной вершины добавьте одно новое ребро веса 1 к новой вершине. $G'=(V',E')$ $G$ $E$ $v\in V$ $d_v-1$ $-1$ $d_v-1$ $v\in V$

(Примечание: каждая новая вершина (в но не в ) имеет ровно одного соседа, который находится в ) $G'$ $G$ $G$

Лемма. имеет независимый набор размера если (как пример вашей проблемы) имеет решение со значением не менее . $G$ $k$ $G'$ $k$

Доказательство. Пусть любое независимое множество в . Тогда, поскольку вершины в независимы в , значение в (согласно вашей цели) равно $S$ $G$ $S$ $G'$ $S$ $G'$

\sum_{v \in S} d_{v} - (d_{v} - 1) = | S | .

$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$

Наоборот, пусть - решение для со значением не менее . Без ограничения общности предположим, что содержит новых вершин. (Каждая новая вершина находится на одном ребре . Если не было изолировано в , то вес ребра равен , поэтому удаление из увеличивает значение Если было выделено, тогда вес ребра равен 1, поэтому удаление из и добавление поддерживает значение ) $S$ $G'$ $k$ $S$ $v'$ $(v',v)$ $v$ $G$ $-1$ $v'$ $S$ $S$ $v$ $v'$ $S$ $v$ $S$

Без ограничения общности будем считать , что является независимым множеством в . (В противном случае, пусть будет ребром таким, что и находятся в Общий вес падающих ребер в равен , поэтому общий вес Число инцидентных ребер, отличных от , не больше нуля. Таким образом, удаление из не приведет к увеличению значения ) $S$ $G$ $(u,v)$ $u$ $v$ $S$ $v$ $G'$ $d_v - (d_v-1) = 1$ $v$ $(u,v)$ $v$ $S$ $S$

Теперь, согласно тому же расчету, что и в начале доказательства, значение равно, Отсюда следует, что . QED $S$ $|S|$ $|S| \ge k$

Кроме того, вы можете вместо этого попросить аддитивное приближение, скажем, или . $O(n)$ $\epsilon m$

Мне кажется возможным, что для вашей проблемы даже принятие решения о том, есть ли решение с положительным значением, может быть трудным делом.

— Нил Янг
источник