Контекст.
Я пишу по таким темам, как теорема Готтсмана-Найла , используя группы стабилизаторов Паули, но в случае d- мерных вычислений - где d может иметь более одного простого множителя. (Я подчеркиваю это, потому что подавляющее большинство литературы о формализме стабилизатора в «более высоких измерениях» включает случаи d простого числа или d простого числа и использует конечные поля; вместо этого я рассматриваю циклические группы ℤ d .)
Для любого измерения я характеризую группу стабилизатора (Паули) как абелеву подгруппу группы Паули, в которой каждый оператор имеет +1 собственное пространство .
Я пишу о результате, который хорошо известен для d = 2 (и легко обобщается на d штрих):
Группа стабилизаторов стабилизирует уникальное чистое состояние тогда и только тогда, когда оно максимально
где под максимальностью я подразумеваю, что любое расширение либо лежит вне группы Паули, либо неабелево, либо содержит операторы без +1 собственных значений.
Доказательства таких результатов для d prime обычно опираются на тот факт, что 2 d 2n является векторным пространством ( т. Е. Что ℤ d является полем): это не имеет места для d составного. Существует два способа: обобщить существующие доказательства таким образом, чтобы он был устойчив к существованию делителей нуля ( например, с помощью таких инструментов, как нормальная форма Смита ), или вообще избежать теории чисел и использовать такие идеи, как отношения ортогональности операторов Паули.
Проблема.
На самом деле у меня уже есть краткое доказательство этого результата, по существу использующее не более чем отношения ортогональности операторов Паули. Но я подозреваю, что я видел нечто подобное раньше, и я хотел бы сослаться на предшествующий уровень техники, если смогу (не говоря уже о том, есть ли лучшие методы, чем тот, который я использовал, который, хотя и не обременительный, чувствовал себя менее совершенным ).
Конечно, в работах Книлла [quant-ph / 9608048] и [quant-ph / 9608049] рассматриваются похожие предметы и используются аналогичные методы; но я не смог найти результат, который искал там, или в Gottesman's [quant-ph / 9802007] . Я надеюсь, что кто-то может указать мне, где такое доказательство могло быть опубликовано ранее.
Обратите внимание - я рассматриваю не тот результат, который связывает мощность группы с размерностью стабилизированного пространства (что приятно, но тривиально как доказать, так и найти ссылки); В частности, я хочу показать, что любая группа стабилизаторов, которая не может быть расширена, стабилизирует уникальное состояние, и наоборот. Ссылка на доказательство того, что любая максимальная группа стабилизаторов имеет одинаковую мощность, будет в порядке; но опять же, он не должен полагаться на то, что d является простым или 2 d 2n является векторным пространством.