Ограничение разрыва между квантовой и детерминированной сложностью запросов

Хотя экспоненциальное разделение между сложностью квантового запроса с ограниченной ошибкой ( $Q(f)$ ) и сложностью детерминированного запроса ( $D(f)$ ) или сложностью рандомизированного запроса с ограниченной ошибкой ( $R(f)$ ) известно, они применяются только к определенным частичным функциям. Если частичные функции имеют некоторые специальные структуры, то они также полиномиально связаны с $D(f) = O(Q(f)^9))$ . Тем не менее, меня больше всего волнуют общие функции.

В классической работе было показано, что $D(f)$ ограничена $O(Q(f)^6)$ для полных функций, $O(Q(f)^4)$ для монотонных полных функций и $O(Q(f)^2)$ для симметричные полные функции. Однако для такого рода функций известно не более квадратичного разделения (это разделение достигается $OR$например). Насколько я понимаю, большинство людей предполагают, что для полных функций мы имеем $D(f) = O(Q(f)^2)$ . При каких условиях эта гипотеза была доказана (кроме симметричных функций)? Каковы наилучшие текущие оценки сложности дерева решений с точки зрения сложности квантовых запросов для полных функций?

Насколько я знаю, общие границы, которые вы заявляете, по сути, самые известные. Немного изменив модель, Мидрижанис показал границу, что , где Q E ( f ) - точная квантовая сложность запроса f ; существуют также более узкие границы, известные с точки зрения односторонней ошибки (см. раздел 6 этой статьи ).$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

С точки зрения более конкретных, но все же общих классов функций, есть статья Барнума и Сакса, в которой показано, что все функции однократного чтения для переменных имеют сложность квантового запроса Ω ( $n$.$\Omega(\sqrt{n})$

Хотя этот прогресс был ограничен, был достигнут значительный прогресс в снижении сложности квантовых запросов для конкретных функций; подробности см. в этом обзоре (или, например, в более поздней работе Райхардта, в которой доказывается, что наиболее общая версия границы «противник» характеризует сложность квантового запроса).

Мне нравится ответ Эшли Монтанаро, но я подумал, что я бы также включил набор функций, для которых известна гипотеза.

$OR$

$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Подробности:

$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Если мы ограничимся вниманием к свойствам графа, то сможем доказать немного улучшенные границы по сравнению с общими границами, которые вы упомянули:

$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

$\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X .; Яо, AC .; Shengyu Zhang, "Свойства графа и круговые функции: насколько низка может быть сложность квантового запроса?", Вычислительная сложность, 2004. Труды. 19-я ежегодная конференция IEEE, том, номер 288 293, 21-24 июня 2004 г., doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Магниес, Фредерик; Сантха, Миклос; Сегеди, Марио (2005), «Квантовые алгоритмы для задачи о треугольнике», Материалы шестнадцатого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, Ванкувер, Британская Колумбия: Общество промышленной и прикладной математики, с. 1109–1117, arXiv: Quant -Ph / 0310134.

В 2015 году достигнут большой прогресс в этом вопросе.

$f$

С другой стороны, в arXiv: 1512.04016 [quant-ph] было показано, что квадратичная связь между квантовой и детерминированной сложностью запросов сохраняется, когда область функции очень мала.