Планарный график через пересечение толстых штуковин?

Существует красивая теорема Кобе (см. Здесь ), которая гласит, что любой плоский граф можно нарисовать как целующий граф дисков (очень романтично ...). (Другими словами, любой плоский граф может быть нарисован как граф пересечений дисков.)

Теорема Кебе не очень легко доказать. Мой вопрос: существует ли более простая версия этой теоремы, где вместо дисков разрешено использовать любые жирные выпуклые формы (выпуклость может быть открытой для переговоров, но не полная). Обратите внимание, что каждая вершина может иметь различную форму.

Благодарность...

Пояснение: Для формы , пусть R ( X ) радиус наименьшего охватывающего шара X , и пусть г ( Х ) пусть мне радиус наибольшего шара в закрытом S . Форма S является α- жирной, если R ( x ) / r ( x ) ≤ α . (Кстати, это не единственное определение для упитанности.)$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

Вы не говорили, что толстые объекты должны быть двумерными? Фельснер и Фрэнсис доказывают, что это всегда возможно с параллельными по оси кубами в 3d . Но доказательство включает в себя обобщения Шрамма Кобе-Терстона-Андреева, так что это не совсем простой результат. Они также упоминают, что для четырехсвязных максимальных плоских графов можно использовать равносторонние равносторонние треугольники.

Если вы используете треугольники, это можно сделать. Возможно, не проще, чем Кобе, хотя ...

de Fraisseix, Ossona de Mendez и Rosenstiehl. На графиках контактов треугольника. КПК 3 (2): 233-246, 1994.

Шрамм доказал, что каждый планарный граф является контактным графом некоторого множества гладких выпуклых объектов на плоскости в своей докторской диссертации (Принстон, 1990) с использованием теоремы Брауэра о неподвижной точке.

Хороший обзор этого и других результатов, связанных с теоремой Кобе, содержится в обзоре Sachs .

$K_4$

Есть новая статья об архиве Дункана, Ганснера, Ху, Кауфмана и Кобурова о представлениях контактных графов. Они показывают, что 6-сторонние многоугольники необходимы и достаточны. Шестиугольники могут быть выпуклыми, но при первом чтении мне не было ясно, были ли они толстыми.

Герд Вегнер в своей кандидатской диссертации (Georg-August-Universität, Göttingen, 1967) доказал, что любой граф является контактным графом множества трехмерных выпуклых многогранников (но он приписывает первое неопубликованное доказательство результата Грюнбауму). Это короткое доказательство.