Класс сложности, соответствующий сортировке

Две части TCS - это алгоритмы и сложность. Я упрощенно скажу, что алгоритмы - это исследование верхних границ, показывающее, что вы можете что-то сделать (с заданными ограниченными ресурсами), а сложность заключается в том, чтобы показать, что вы не можете сделать это без каких-либо минимальных ресурсов.

Очень часто алгоритмическая проблема формулируется в модели решения, чтобы поместить ее в класс сложности.

Но меня всегда беспокоило то, что некоторые элементарные алгоритмы никогда не упоминаются как принадлежащие к определенному классу. Одним из примеров является (сравнение) сортировка. Попробуйте, как я мог бы, соответствующий класс кажется слишком неполноценным (на самом деле, он просто проверяет в лог-пространстве, что результат отсортирован? Это кажется слишком слабым, или я не понимаю верную версию решения).

Каков наилучший / наиболее подходящий / наиболее полезный класс сложности, в котором заключается сортировка сравнения?

cc.complexity-theory sorting

— Митч
источник

Ответы:

Задача сортировки фактически завершена для $\mathsf{TC}^0$ (при -редуцировании). Стандартным источником для этого является Раздел 1.4.3 книги Фольмера . $\mathsf{AC}^0$

Обратите внимание, что - это класс задач решения, но мы обычно думаем о сортировке как о функциональной проблеме, т.е. мы хотим вывести числа, скажем, в неубывающем порядке. Однако мы также можем определить сортировку как решение проблемы следующим образом: $\mathsf{TC}^0$

Учитывая последовательность чисел и двух чисел , мы хотим решить, находится ли в положении в последовательности, которую мы получаем, сортируя по неубывающей заказ. Обратите внимание, что во избежание двусмысленности, когда , мы хотим, чтобы предшествовал если . $a_1,\ldots,a_n$ $k,p\in [n]$ $a_k$ $p$ $a_1,\ldots,a_n$ $a_i=a_j$ $a_i$ $a_j$ $i<j$

— Дай Ле
источник

Отлично ... указано, какое формальное решение проблемы?

— Митч

Было бы в два раза лучше включить ссылку в ваш ответ.

— Александр Бондаренко

@Mitch и @Okeksandr: Спасибо за ваши комментарии! Я только что расширил свой ответ, чтобы прояснить эти моменты.

— Дай Ле

Это звучит как решение проблемы для статистики заказов. Есть ли связанная проблема, когда все на своем месте? Что-то вроде заданной последовательности

и перестановка

на

, решает, если

. Это так же сложно, как у тебя; это сложнее или полнее для включающего класса?

a_{1} . . . a_{n}

$a_1...a_n$

σ

$\sigma$

[1.. n]

$[1..n]$

\forall_{1 \leq k < j \leq n}, a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$\forall_{1\le k\lt j\le n}, a_{\sigma_k} < a_{\sigma_j}$

— Митч

@ Митч: Я считаю, что проверить, все ли в нужном месте, на самом деле проще, чем сортировку. Интуиция является то , что вы можете проверить , что

для всех возможных пар

параллельно, который я считаю , может быть сделано в

. Для вышеупомянутой задачи сортировки вам нужно уметь «считать», чтобы вычислить правильную позицию числа в линейном порядке.

a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$a_{\sigma_k}<a_{\sigma_j}$

(a_{σ_{k}}, a_{σ_{j}})

$(a_{\sigma_k},a_{\sigma_j})$

k < j

$k<j$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Дай Ле

Я считаю, что FP это то, что вы ищете.

— Николас Манкузо
источник

Что ж, я скорее ищу соответствующий класс сложности решения, чем функциональный, но даже в этом случае, я вполне уверен, что сортировка сравнения не где-то рядом с P-полной (или FP-полной), поэтому я ожидаю меньший класс, для которого он должен быть в / завершен.

— Митч

Я не знал, что полнота была одним из требований к вашему вопросу. Как решение проблемы (если вы игнорируете свое ограничение полноты), почему P не будет приемлемым в качестве ответа? При наличии DTM вы можете производить и проверять сертификат за полиномиальное время.

— Николас Манкузо

Учитывая общую проблему, я обычно хочу знать не только то, что это полиномиальное время, но и наименьший класс, в котором он может находиться. Я хотел бы знать, находится ли он в LOGCFL, NL, L, AC_0 и т. Д. Полнота это один из способов, который вы не можете сделать лучше. Так что это не требование моего вопроса, а скорее всего ответ.

— Митч