Что является наиболее важным понятием разреженности для разработки эффективных алгоритмов графа?

Есть несколько конкурирующих понятий "разреженного графа". Например, встраиваемый в поверхность граф можно считать разреженным. Или график с ограниченной плотностью ребер. Или график с высоким обхватом. График с большим расширением. Граф с ограниченной шириной дерева. (Даже в подполе случайных графов, это немного двусмысленно относительно того, что можно назвать разреженным.) И так далее.

Какое понятие «разреженный граф» оказало наибольшее влияние на разработку эффективных алгоритмов графов и почему? Точно, что такое понятие "плотный граф" ...? (NB: Карпински много работал над результатами аппроксимации для одной стандартной модели плотных графов.)

Я только что видел выступление Дж. Несетрила о его (вместе с П. Оссона де Мендесом) программе по измерению разреженности в графах в рамках единой (асимптотической) структуры. Мой вопрос - да, может быть, довольно субъективный, и я ожидаю, что разные лагеря - мотивирован желанием поймать многогранную перспективу использования разреженности в алгоритмах (и устранить любые пробелы в моем собственном понимании проблемы).

Я думаю, что по любому разумному стандарту трехмерный сеточный граф n × n × n должен считаться разреженным, и это исключает большинство возможных определений, включающих поверхностные вложения или миноры. (Сублинейная ширина дерева все еще возможна.)

Моя любимая мера редкости - вырождение . Вырожденность графа является минимальным по всем линейным упорядочениям вершин графа максимальной степени в направленной ациклической ориентации графа, образованного ориентированием каждого ребра от ранних к более поздним вершинам упорядочения. Эквивалентно, это максимум, по всем подграфам, минимальной степени в подграфе. Так, например, планарные графы имеют вырождение пять, потому что любой подграф плоского графа имеет вершину степени не более пяти. Вырождение легко вычислить по линейному времени, а линейное упорядочение, которое следует из определения, полезно в алгоритмах .

Вырожденность находится в постоянном множителе некоторых других стандартных показателей, включая краткость, толщину и максимальную среднюю степень любого подграфа, но я думаю, что использовать их сложнее.

Кажется, что существует много «хороших» понятий разреженности, но есть некоторая иерархия для тех структурных понятий разреженности, которые имеют теоретико-модельный вкус. Я думаю, что они оказали сильное влияние на эффективные алгоритмы графа.

$k$$K_{k+2}$

В записках курса Ануджа Давара за ноябрь 2010 года также обсуждается локально ограниченная длина деревьев , которая несопоставима с исключенными несовершеннолетними. Ограниченная степень четко определяет разреженные графы, и такие графы имеют ограниченную локальную ширину дерева, но не могут быть определены набором исключенных миноров.

Влияние ограниченной степени очевидно: это часто является одним из первых показанных ограничений, делающих сложную задачу доступной, например, алгоритм Лукса для изоморфизма графов на графах ограниченной степени. Последствия исключения несовершеннолетнего также очевидны, по крайней мере, под видом ограниченной ширины дерева (как указывал Суреш).

Понятие локально исключающего минорала обобщает как локально ограниченную древовидную ширину, так и исключаемых миноров, образуя «самый общий» класс в иерархии. Однако пока не ясно, как использовать это свойство в практических алгоритмах. Даже «поддающийся учету» случай исключения несовершеннолетнего не обязательно имеет хорошие практические алгоритмы; большие константы имеются в теоретико-модельных алгоритмах. Я надеюсь, что некоторые из этих классов в конечном итоге будут иметь практически эффективные алгоритмы.

Смотрите также мой ответ, что легко для второстепенных исключенных графиков? для дальнейших связанных комментариев.

Я не могу представить ни одно свойство графа, которое оказало бы такое же влияние на разработку эффективных алгоритмов, как ограниченная ширина дерева и двумерность в целом.

Можно рассматривать граф как матрицу смежности - существует несколько определений для разреженности матрицы (например,% от нулевых записей), которые можно перевести обратно на сам граф. Кроме% от нуля записей, пропускная способность матрицы при переупорядочении может быть хорошим прокси для разреженности графа (похоже, что пропускная способность связана с вырождением).