Существование планарного расстояния?

Пусть G будет ненаправленным графом из n узлов, и пусть T будет подмножеством узлов V (G), называемых терминалами . Сохранитель расстояния (G, T) - это граф H, удовлетворяющий свойству

для всех узлов u, v в T. (Обратите внимание, что H НЕ обязательно является подграфом G.)

Например, пусть G - следующий граф (a), а T - узлы на внешней грани. Тогда граф (b) является сохранителем расстояния (G, T).

Известно, что сохранитель расстояния с различными параметрами существует. Я особенно заинтересован в одном со следующими свойствами:

1. G плоская и невзвешенная (то есть все ребра G имеют вес один),
2. T имеет размер и$O(n^{0.5})$
3. H имеет размер (количество узлов и ребер) . (Было бы хорошо, если бы у нас было .)$o(n)$$O(\frac{n}{\log\log n})$

Существует ли такой сохранитель расстояния?

Если вы не можете встретить вышеупомянутые свойства, приветствуются любые виды релаксации.

Ссылки:

• Разреженные источники и парные сохранители расстояния , Дон Копперсмит и Майкл Элкин, СИДМА, 2006.
• Хранители редких расстояний и аддитивные гаечные ключи, Бела Боллобас, Дон Копперсмит и Майкл Элкин, СИДМА, 2005.
• Гаечные ключи и эмуляторы с ошибками сублинейного расстояния , Миккель Торуп и Ури Цвик, SODA, 2006.
• Нижние границы для аддитивных ключей, эмуляторов и многого другого, Дэвид П. Вудрафф, FOCS, 2006.

Сохранитель расстояния также известен как эмулятор ; многие связанные работы можно найти в Интернете, выполнив поиск по термину « гаечный ключ» , который требует, чтобы H был подграфом G. Но в моих приложениях мы можем использовать и другие графики, если H сохраняет расстояния между T в G.

Спустя много лет, похоже, OP наконец-то ответил на свой вопрос: почти -оптимальный эмулятор расстояний для плоских графиков Сянь-Чжи Чанга, Павла Гавриховского, Шая Мозеса и Орен Вейманн только что был размещен на arxiv.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$

(На менее формальной ноте я нахожу этот результат действительно удивительным. Поздравляю!)

Вы можете посмотреть на плоский гаечный ключ Кляйна, который сохраняет расстояния до 1 + эпсилон-фактор.

Гаечный ключ подмножества для плоских графов с приложением к подмножеству TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620